Геометрични задачи

[Гост]

Здравейте, качвам 2 задачи, които са подходящи за състезания по математика за 5-7 клас. Може ли помощ с решението на 17 и 19 задача?

[Darina73]

19 зад. Да означим т.М -среда на отс.АЕ и т.N -среда на отс.CG .
Нека [tex]S_{AMH }[/tex] =y (1) и [tex]S_{FCN }[/tex]= z (2)
HM е медиана в [tex]\triangle[/tex]AEH [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{MEH }[/tex] =y
HE е медиана в [tex]\triangle[/tex]MBH [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{EBH }[/tex] =y
Тъй като BH е медиана в [tex]\triangle[/tex]ABD [tex]S_{HBD } =S_{ABH } =S_{AMH } +S_{MEH } +S_{EBH }[/tex]=y+y+y ; [tex]S_{HBD }[/tex] =3y (3)

От FN- медиана в [tex]\triangle[/tex]GFC и FG е медиана в [tex]\triangle[/tex]DFN следва ,че [tex]S_{DFG } =S_{GFN } =S_{FCN }[/tex] = z т.е. [tex]S_{DFC }[/tex]=3z (4)

DF е медиана в [tex]\triangle[/tex]BCD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{BFD }= S_{DFC }[/tex] т.е. [tex]S_{BFD }[/tex] =3z (5)

[tex]S_{EBFGDH }[/tex] =60
[tex]S_{EBH } +S_{HBD } +S_{BFD } +S_{DFG }[/tex] =60 ( виж (3) ,(4) ,(5) )
y+3y+3z+z =60 |:4[tex]\ne[/tex] 0
y+z= 15 (6)

[tex]S_{ABCD }= S_{ABD } +S_{DBC }[/tex]=6y+6z =6(y+z) =6.15 =90 [tex]см.^{2 }[/tex]

[Darina73]

19 зад. Използвах тр-ци ,които имат равна височина .

Получих отговори [tex]\frac{2}{1}[/tex] и [tex]\frac{4}{5}[/tex] .

[Darina73]

17 зад. Нека лицето на [tex]\triangle[/tex]AMK е [tex]S_{1 }[/tex] ,лицето на [tex]\triangle[/tex]KDC е [tex]S_{2 }[/tex] и лицето на [tex]\triangle[/tex]AKC е [tex]S_{3 }[/tex] .
[tex]\triangle[/tex]AMK и [tex]\triangle[/tex]MBK имат една и съща височина [tex]KH_{1 } \Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{ S_{AMK } }{ S_{MBK } } = \frac{AM}{BM}[/tex] ; [tex]\frac{ S_{1 } }{ S_{MBK } }= \frac{1}{3}[/tex] ; [tex]S_{MBK } =3S_{1 }[/tex]

По същата логика намираме лицето на [tex]\triangle[/tex]KBD е 5[tex]S_{2 }[/tex] .

Забелязваме ,че [tex]\triangle[/tex]AMC и [tex]\triangle[/tex]MBC имат една и съща височина [tex]CH_{2 } \Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{ S_{AMC } }{ S_{MBC } } =\frac{AM}{BM} ; \frac{ S_{1 } +S_{3 } }{3 S_{1 }+6 S_{2 } }= \frac{1}{3} ; S_{3 } = 2 S_{2 }[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]AKC и [tex]\triangle[/tex]KDC имат една и съща височина [tex]CH_{3 }[/tex], тогава

[tex]\frac{AK}{KD}= \frac{ S_{AKC } }{ S_{KDC } }= \frac{ S_{3 } }{ S_{2 } } =\frac{2 S_{2 } }{ S_{2 } } = \frac{2}{1}[/tex] ; AK :KD= 2:1

[tex]\frac{ S_{KBD } }{ S_{ABK } }= \frac{KD}{AK} ; \frac{5 S_{2 } }{4 S_{1 } } =\frac{1}{2} ; \frac{ S_{2 } }{ S_{1 } } =\frac{2}{5}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]KBC и [tex]\triangle[/tex]MBK имат една и съща височина [tex]BH_{4 }[/tex] ,тогава

[tex]\frac{CK}{KM}= \frac{ S_{KBC } }{ S_{MBK } }= \frac{6 S_{2 } }{3 S_{1 } } =2.\frac{2}{5} = \frac{4}{5}[/tex] ; CK:KM= 4:5