Геометрия

[Гост]

Здравейте,
Попаднах на следното условие от математическо състезание:
Иван начертал на дъската две прави линии и отбелязал по 3 точки на всяка от тях. След това преброил всички триъгълници, чиито върхове са в отбелязаните точки.
Техният брой се оказал по-малък от 18. Колко са тези триъгълници?
Уж реших задачата, но предположих, че ако съм я разбрал, ще мога да си променя условието, за да проверя колко всъщност съм осъзнал концепцията й.

Второто условие е: Иван начертал на дъската две прави линии и отбелязал по 4 точки на всяка от тях. След това преброил всички триъгълници, чиито върхове са в отбелязаните точки. Техният брой се оказал по-малък от 32. Колко са тези триъгълници?

Може ли да ми кажете как бихте решили и двете задачи, за да разгранича решенията и на двете. При първата отговорът е 8, а при втората - 27.

[Гост]

Ще обясня за първата, за втората идеята е аналогична. Ако имаш общо 6 маркирани точки (по 3 на всяка права), то тогава лесно се открива че има 18 триъгълника с върхове сред тези точки (надявам се че авторът на темата е наясно как се смята това). Но по условие въпросните триъгълници са по-малко от 18 .Когато влезем в тази задънена улица е редно да се запитаме "Как мога да маркирам по 3 точки на всяка права, ама да нямам общо 6 маркирани точки (понеже явно тогава изкарвам повече триъгълници от колкото трябва)?" Отговорът е: Като маркираме пресечната точка на тези 2 прави, тя ще се брои и от двете т.е. ще имаме маркирани общо 5 точки, но всяка права ще има 3 маркирани точки (другите 2 избираме на случаен принцип). Сега остава да видим, че при този избор на точките наистина имаме 8 триъгълника.