Две задачи от математическа олимпиада и ЕК за 5- 6 клас.

[Гост]

1задача от ЕК . "Колко пъти в денонощието стрелките на часовника сключват прав ъгъл помежду си?"
При тази задача отговорът е 44, но аз както и да го смятам получавам 48 , защото за денонощие 24 часа, стрелките на часовника сключват прав ъгъл два пъти на всеки час , тоест 24 х 2=48. Къде бъркам ?
2задача: Тази задача почти я реших ,но не ми е ясно каква е ролята на триъгълничето в един от изразите на задачата!

[ammornil]

(1) Не знам как да го обясня за 6-ти клас. Ето моята логика: нека двете стрелки сочат числото $12$ в началния момент, нака използваме индекс $1$ за малката стрелка и индекс $2$ за голямата; ще намерим броя на моментите изпълняващи условието за $12$ часа и ще умножим по $2$. $\\[12pt]t[min]= var \\[6pt] \omega_{1}= 30[^{\circ}/h]= \dfrac{1}{2}[^{\circ}/min] \quad \theta_{1}=\dfrac{1}{2}t [^{\circ}] \\[6pt] \omega_{2}=360[^{\circ}/h]=6[^{\circ}/min] \quad \theta_{2}=6t[^{\circ}] \\[6pt] \Delta{\theta}= \theta_{2} -\theta_{1}= \dfrac{11}{2}t[^{\circ}/min] \\[6pt] \Delta{\theta}=90^{\circ} +360^{\circ}k = \dfrac{11}{2}\cdot{t}, k\in\mathbb{N_{0}} \Rightarrow t=2\cdot{}\dfrac{90^{\circ}+360^{\circ}k}{11}\\[6pt] 0\leq{t}\leq{720} \Rightarrow 0\leq{}90^{\circ}+360^{\circ}k \leq{} 3960 \Rightarrow -\dfrac{1}{4} \leq{k} \leq{\dfrac{123}{12}} \Rightarrow -\dfrac{1}{4} \leq{k} \leq{10\dfrac{1}{4}} \\[6pt] \because k\in\mathbb{N_{0}} \Rightarrow k\in \underbrace{ \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} }_{11\text{ пъти}}\\[12pt]$ Така в рамките на 12 часа стрелките сключват ъгъл $90^{\circ}$ точно $11$ пъти. Аналогично можем да намерим, че те сключват ъгъл $270^{\circ}$ точно $11$ пъти за $12$ часа (което е $90^{\circ}$ но с разменен ред на стралките като рамене на ъгъла). Така за $12$ часа стрлките са под прав ъгъл една спрямо друга $22$ пъти, което прави $44$ пъти за едно денонощие. Можем да намерим точните моменти в които това става от модела на обобщените ъгли, като заместваме със съотвените $k$ в стойностите на $t$ и по после с това $t$ в стойностие за $\theta_{i}, i\in\{1,2\}$ за двете стрелки и определим положението на стрелките за тези случаи, а оттам и часа и минутата.

Мисля, че Вашата грешка идва оттова, че приемате че стрелките застават под прав ъгъл на всеки $30$ минути, но това не е така; реално от положение една върху друга ( $ 0^{\circ} $ ) те застават под прав ъгъл за пъртви път след $16min 22sec$ и после на всеки $32$ минути и малко, и не точно в същите минути за всеки час.

[ammornil]

Триъгълничето се чете ДЕЛТА, като главната буква от гръцката азбука. Обикновено тава е символ за изменение (разлика), но тук просто има смисъл на "специална операция" в частна (измислена) формула. С други думи, изразът $$ \left(a \Delta b\right) = a\cdot{b} +3\cdot{a} $$ дефинира нова функция $f(a,b)= a\cdot{b} +3\cdot{a}$, което в контекста на задачата значи, че $$\left(\dfrac{1}{4} \Delta z \right)=5 \Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\cdot{z} +3\cdot{\dfrac{1}{4}}= 5$$ откъдето $$z+3=20 \Leftrightarrow z=17$$

[Гост]

Много благодаря на "ammornil" за обясненията и отделеното време!!!!