трансформация

[martin123456]

Докажете, че едно естествено число може да се представи във вида [tex]3x^2+y^2[/tex] <=> може да се представи във вида [tex]u^2+uv+v^2[/tex], където [tex]x,y,u,v \in \mathbb{N}[/tex].

[martin.nikolov]

Нека N е число което може да се представи във вида [tex]3x^2+y^2[/tex], ще покажем, че може да се представи и в другия вид.

1. Ако [tex]y\ge x[/tex] разглеждаме естествените числа [tex]v=2x[/tex] и [tex]u=y-x[/tex]. От тук [tex]x=\frac v2[/tex] и [tex]y=u+\frac v2[/tex]. Тогава

[tex]N=3x^2+y^2=3\left(\frac v2\right)^2+\left(u+\frac v2\right)^2=u^2+uv+v^2[/tex]

2. Ако [tex]x>y[/tex] разглеждаме естествените числа [tex]a=2x[/tex] и [tex]b=x-y[/tex]. От тук [tex]x=\frac a2[/tex] и [tex]y=\frac a2-b[/tex]. Тогава

[tex]N=3x^2+y^2=3\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2-b\right)^2=a^2-ab+b^2[/tex]

От където следва, че числото N може да се представи във вида [tex]a^2-ab+b^2[/tex]. Ако a е по-голямо от b(в противен случай им разменяме местата) разглеждаме естествените числа [tex]u=a-b[/tex] и [tex]v=b[/tex], което е същотото като [tex]a=u+v[/tex] и [tex]b=v[/tex]. Тогава

[tex]N=a^2-ab+b^2=(u+v)^2-(u+v)v+v^2=u^2+uv+v^2[/tex]

Следователно N се представя по желания начин.

В обратната посока се доказва с подобни гимнастики. Разбира се заглавието насочва.