Текстова задача. Да се докаже, че лице е по-малко от...

[marina1]

В изпъкнал четириъгълник с лице S отсечките, свързващи средите на срещуположните страни, са с дължини m и n.
Докажете, че S<= mn.
Благодаря!

[Xixibg]

Нека [tex]M,N,P,Q[/tex] са съответно средите на страните [tex]AB,BC,CD,DA[/tex] на изпъкналият четириъгълник [tex]ABCD[/tex] и [tex]MP=m , NQ=n[/tex].
Първо ще докажем следното:[tex]S_{MNPQ}=\frac{1}{2}S_{ABCD}[/tex]
[tex]S_{ABN}=\frac{1}{2}S_{ABC}[/tex](Обща височина и [tex]BN=CN , N-[/tex] среда)
[tex]S_{BMN}=\frac{1}{2}S_{ABN}=\frac{1}{4}S_{ABC}[/tex](Обща височина и [tex]BM=AM , M-[/tex] среда)
Аналогично [tex]S_{PNC}=\frac{1}{4}S_{BCD}[/tex]
[tex]S_{PQD}=\frac{1}{4}S_{ACD}[/tex]
[tex]S_{AMQ}=\frac{1}{4}S_{ABD}[/tex]
[tex]=>S_{MNPQ}=S_{ABCD}-S_{AMQ}-S_{PQD}-S_{PNC}-S_{BMN}[/tex]
[tex]=>S_{MNPQ}=S_{ABCD}-\frac{1}{4}S_{ABCD}-\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}[/tex]
Сега остана да покажем ,че: [tex]S_{MNPQ}\le \frac{MP.NQ}{2}[/tex]
Нека [tex]MP,QN[/tex] се пресичат в точка [tex]O[/tex]
Нека [tex]H\in MP , CH\bot MP ; H_1\in MP ,AH_1\bot MP[/tex]
[tex]\triangle OHN,\triangle AH_1Q[/tex] са правоъгълни [tex]=>NO\ge NH ; NO=NH <=>O\equiv H ,QO\ge QH_1 , QO=QH_1<=>O\equiv H_1[/tex] (катетът е по-малък от хипотенузата)
[tex]=>NQ=NO+QO \ge (NH+QH_1)[/tex]
[tex]S_{MNPQ}=S_{MNP}+S_{MQP}=\frac{MP.NH}{2}+\frac{MP.QH_1}{2}=\frac{MP(NH+QH_1)}{2}\le\frac{MP.NQ}{2}[/tex]
С което задачата е решена.....

[marina1]

Благодаря!