текстова задача

[marina1]

Да се намери най-малкото естествено число n, за което съществуват n куба с дължини на ръбовете в дециметри естествени числа и сума от обемите 2011литра.

[Xixibg]

[tex]n=6[/tex]е решение:
[tex]x_1=10 ; x_2=10 ; x_3=2 ; x_4=1 ; x_5=1 ; x_6=1 ; =>x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3+x_5^3+x_6^3=2011[/tex]
[tex]x_i^3\equiv 0,1,-1(mod9) ; (i=1,2,3.....,n ); 2011\equiv 4(mod9) =>n\ge4[/tex]
Нека [tex]n=4[/tex]
[tex]x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=2011 ; x_i\in Z^+ ; x_i\le 12 ; (i=1,2,3,4)[/tex]
[tex]x_i^3\equiv 0,\pm 1,\pm 3(mod8) ; 2011\equiv 3(mod8) =>[/tex] поне едно [tex]x_i\equiv 0(mod8)[/tex]
Нека [tex]x_4=8 ; =>x_1^3+x_2^3+x_3^3=2011-512=1499[/tex]
[tex]x_1^3+x_2^3+x_3^3\equiv 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3(mod9) ;1499\equiv 5(mod9)=>[/tex] противоречие [tex]=>n\ne 4[/tex]
Нека [tex]n=5[/tex]
[tex]x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3+x_5^3=2011 ; x_i\in Z^+ ; x_i\le 12 ; (i=1,2,3,4,5)[/tex]
[tex]x_i^3\equiv 0,1,-1(mod7) ; 2011\equiv 2(mod7) =>[/tex] поне едно [tex]x_i\equiv 0(mod7)[/tex]
Нека [tex]x_5=7 ; =>x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=2011-343=1668[/tex]
[tex]x_i^3\equiv 0,1,-1(mod9) ; 1668\equiv 3(mod9) =>[/tex] точно едно [tex]x_i\equiv 0(mod9)[/tex]
Нека [tex]x_4=9 ; =>x_1^3+x_2^3+x_3^3=1668-729=939[/tex]
[tex]939\equiv 3(mod9) ; =>x_1^3,x_2^3,x_3^3\equiv 1(mod9) ; =>x_1,x_2,x_3\equiv 1(mod3)[/tex]
Нека [tex]x_1\ge x_2\ge x_3 ; x_i<10 ; =>x_1=x_2=7 ; =>x_3^3=253 ; x_3\notin Z =>[/tex]противоречие [tex]=>n\ne 5[/tex]


П.П.[tex]x_i\equiv a(mod b)[/tex] означава ,че [tex]x_i[/tex] дава остатък [tex]a[/tex] при делена на [tex]b[/tex]

[marina1]

благодаря за решението само че ние не сме учили някой неща от написаното

[Xixibg]

Да се намери решението [tex]n=6[/tex] е лесно , но да се докаже че няма по-малко от [tex]n=6[/tex] е трудно.Това което съм написал е материал за 6-ти клас но се учи извънкласно.Води се раздел "Аритметика-Делимост на числата".Другият начин е да се замества с числа докато се получи противоречие.Нещо от вида.....
Нека [tex]x_1\ge x_2\ge x_3\ge x_4\ge x_5[/tex] Нека [tex]n=5[/tex]
[tex]13^3=2197>2011 ; =>x_i\le 12[/tex]
[tex]\frac{2011}{5}=402\frac{1}{5}[/tex]
[tex]7^3=343<402\frac{1}{5} ; =>x_1\ge 8[/tex]
И сега разглеждаме последователно възможните стойности за [tex]x_1[/tex] и продължаваме по същият начин и за [tex]x_2,x_3,x_4,x_5[/tex] докато получим противоречие