коледно състезание

[Гост]

Магьосникът ЗИГЗАГ е на 66 години и има 66 гърнета с вълшебства, които номерира по странен начин
1 2 1 2 3 2 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 и така нататък. Колко гърнета са номерирани с любимото му число 6.

[Davids]

Ще се опитам да го обясня като за 4. клас, но тук истината е, че универсалният метод изисква знания за по-горе (доста)
Както виждаме, подредбата на поредните номера има пирамидовидна структура, като всяка следваща пирамидка нараства с по едно. Представи си го графично така:
[tex]1^21^{2^32}1^{2^{3^43}2}1...[/tex] и т.н., като всяка цифра е гърне. Казахме, че номера на всеки връх нараства с едно, така че върховете следват поредицата [tex]2,3....n[/tex], където всъщност [tex]n[/tex] е върхът на най-голямата (последната) цяла пирамидка.
Сега се абстрахираме от номерата на гърненцата и ще намерим броя на целите пирамидки (като съответно ще имаме и остатък някакъв от незавършена пирамидка).
Тук трябва да отбележим, че всяка пирамидка се застъпва с околните две с по едно гърненце, следовстелно ще подходим така:
Първото гърненце от цялата колекция ще отделим, а за всяка следваща пирамидка ще събираме останалите й гърненца по общата формула [tex]2i - 2 = 2(i-1)[/tex], където [tex]i[/tex] е цифрата, която е на върха на пирамидата, и варира съответно от [tex]2[/tex] до [tex]n[/tex]. Изваждаме две от всяка пирамида, защото чисто структурно на върха е само едно гърне (а не 2), а първото гърне вече сме го броили в предната пирамидка (тъй като се застъпват). Така получаваме например при [tex]n=4[/tex]:
[tex]1^21^{2^32}1^{2^{3^43}2}1 = 1 + 2.2 - 2 + 2.3 - 2 + 2.4 - 2 = 1 + 2(2-1) + 2(3-1) + 2(4-1) = 1 + 2(2-1 + 3-1 + 4-1) = 1 + 2.6 = 13[/tex]
гърненца на брой.
Като обобщихме това, за да намерим сега броя на целите купчинки в колекцията, ще трябва да намерим най-голямото число [tex]n[/tex], за което е вярно:
[tex]1 + 2.2 - 2 + 2.3 - 2 + ... 2n - 2 \le 66[/tex]
[tex]1 + 2(2-1 + 3-1 + ... + n-1) \le 66[/tex]
[tex]1 + 2(1 + 2 + ... + n-1) \le 66[/tex]
Това вече е лесно и опитно да се провери - числото е 8. В тези осем купчинки имаме [tex]1 + 2(1+2+3+4+5+6+7) = 1 + 2.28 = 57[/tex] гърненца. Остават ни едни 9 гърненца, които изграждат половината от следващата купчинка и са номерирани с 2,3...9,8.
Сега остана да отговорим на въпроса. Имаме една купчинка с връх - гърненце с номер 6. В следващите две купчинки (с връх 7 и 8) имаме още по две гърненца с номер 6 на всяка - още 4. И в последната редица има още едно гърне с номер 6. Така получаваме общо 1+4+1 = 6 гърненца с номер 6 в колекцията.
П.П.: Дълго и сложно обяснение, но сравнително не толкова сложно за осмисляне и се опитах да го обобщя максимално подробно.

[KOPMOPAH]

Хубаво решение, ама дали едно дете на десетина години може да направи подобни разсъждения.
По-малко време ще отнеме написването на 66-те числа и преброяването на шестиците. Не знам каква е системата за оценяване, но не виждам причина да не получи максималния брой точки, ако напише добросъвестно цифрите и после ги преброи. Абсолютно НЕматематическо, но 100% работещо решение.
Чудно ми е какви критерии са били приложени към задачите, за да се допусне подобна ...

[Davids]

Хубаво решение, ама дали едно дете на десетина години може да направи подобни разсъждения.
По-малко време ще отнеме написването на 66-те числа и преброяването на шестиците. Не знам каква е системата за оценяване, но не виждам причина да не получи максималния брой точки, ако напише добросъвестно цифрите и после ги преброи. Абсолютно НЕматематическо, но 100% работещо решение.
Чудно ми е какви критерии са били приложени към задачите, за да се допусне подобна ...

Същото си мислех и аз, само дето реших да подходим математически все пак Другият път може да не са 66, а 6000 гърненца Шегувам се, напълно съм съгласен иначе, че ще му е по-бързо и лесно да си състави просто пирамидките и да брои