Задача за трапец - 8 клас

[Евва]

Нека AB=AD =a .
Ето и моята идея -да построим АР -височина в [tex]\triangle[/tex]АВМ .(1)
[tex]\triangle[/tex]АВР е правоъгълен с [tex]\angle[/tex]ВАР =15[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] височината PF към хипотенузата ще е 4 пъти по-малка от хипотенузата PF=[tex]\frac{a}{4}[/tex]
Нека правата FP пресича правата LM в т.Е .
По построение AFEL е правоъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] FE=AL= [tex]\frac{a}{2}[/tex]

PE +PF =FE ; PE+[tex]\frac{a}{4} = \frac{a}{2}[/tex] ; PE=[tex]\frac{a}{4}[/tex]

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]FBP и [tex]\triangle[/tex]PEM
1. PF=PE =[tex]\frac{a}{4}[/tex]
2. [tex]\angle[/tex]FPB =[tex]\angle[/tex]EPM (връхни)
3. [tex]\angle[/tex]PFB =[tex]\angle[/tex]PEM =90[tex]^\circ[/tex] (кръстни)
по 2 признак [tex]\triangle[/tex]FBP[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]PEM следователно BP=MP [tex]\Rightarrow[/tex] AP е медиана в [tex]\triangle[/tex]АВМ (2)

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВМ е равнобедрен с бедра АВ и АМ .

[ptj]

Евва,
Имам забежка към третия ред в доказателството.Вероятно използваш:
[tex]PB=AB. sin(15^\circ)[/tex] и [tex]PF=PB.cos(15^\circ)[/tex], т.е. [tex]PF=AB.sin(15 ^\circ ).cos(15^\circ)= \frac{sin(30 ^\circ )}{2}.AB= \frac{a}{4}[/tex]

Тригонометричните преобразувания не са достъпни в материала до 8-ми клас. Ако имаш друго доказателство за твоето твърдение е добре да го добавиш.

[Гост]

Samia ptj e edna golqma fantomna to4ka!

[S.B.]

Тригонометричните преобразувания не са достъпни в материала до 8-ми клас. Ако имаш друго доказателство за твоето твърдение е добре да го добавиш.

Без заглавие (31).png (288.07 KiB) Прегледано 1786 пъти

Без да съм адвокат на Евва,искам да Ви кажа,че тя никъде не е използвала недостъпен за 8 клас материал.Използвала е резултат от една основна задача от 7 клас, според която височината в правоъгълен триъгълник с ъгъл [tex]15 ^\circ[/tex] е равна на една четвърт от хипотенузата на триъгълника.Тъй като аз ползвам същата основна задача в моето доказателство,което почти не се различава от доказателството на Евва,за да няма повече недоразумения ,ще докажа това твърдение преди да изложа доказателството си.

На малкия чертеж:
[tex]\triangle ABP[/tex] е правоъгълен, [tex]\angle BAP = 15 ^\circ ,PQ \bot AB ,PO = AO = BO[/tex]
[tex]\angle POB[/tex] е външен за равнобедрения [tex]\triangle AOP \Rightarrow \angle POB = 30 ^\circ[/tex]
За правоъгълния [tex]\triangle POQ : PQ[/tex] лежи срещу ъгъл равен на [tex]30^\circ \Rightarrow PQ = \frac{1}{2} OP[/tex]
Но [tex]OP = \frac{1}{2} AB \Rightarrow PQ = \frac{1}{4}AB[/tex]

Предполагам,че съмненията за ползване на недостъпен за 8 клас материал са отпаднали и мога да изложа моето доказателство:
$M$ е среда на $BC$
През т.$M$ построявам права успоредна на $AB$ ,която пресича $AD$ в т.$L$
Според теорема т.$L$ е среда на $AD$
$LM$ е средната отсечка в трапеца $ABCD$
[tex]\begin{cases} LM \bot AD\\ AL = LD \end{cases} \Rightarrow LM[/tex] е симетрала на $AD$
$$\Rightarrow MA = MD$$
Построявам [tex]AP \bot BM, P \in BM, PQ \bot AB ,Q \in AB[/tex]
За правоъгълния [tex]\triangle ABP , \angle ABM = 75 ^\circ \Rightarrow \angle PAB = 15 ^\circ[/tex]
Тъй като $PQ$ е височина ,според вече доказаното по-горе [tex]PQ = \frac{AB}{4}[/tex]
Построявам [tex]MN\bot AB , MN = AL = \frac{AD}{2}[/tex]
По условие [tex]AD = AB \Rightarrow MN = \frac{AB}{2}[/tex]
За [tex]\triangle BNM :[/tex]
[tex]\begin{cases} MN \bot AB\\ PQ \bot AB\end{cases} \Rightarrow MN || PQ[/tex]
[tex]\begin{cases} PQ = \displaystyle \frac{AB}{4} \\ MN = \displaystyle \frac{AB}{2} \end{cases} \Rightarrow PQ = \displaystyle\frac{MN}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow PQ[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle NBM \Rightarrow MP = BP[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] височината $AP$ е същевременно и медиана за [tex]\triangle ABM \Rightarrow AM = AB[/tex] (триъгълникът е равнобедрен)
[tex]\begin{cases} MA = MD \\MA = AB\\AD = AB \end{cases} \Rightarrow AM = DM = AD[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle AMD[/tex] е равностранен,с равни височини
[tex]DH \bot AM , DH = LM , LM = \frac{AB + CD}{2} = \frac{AD + CD}{2} = \frac{m}{2}[/tex]

[inveidar]

Ето ви едно, сравнително просто доказателство на това, че [tex]\triangle AMD[/tex] е равностранен.

re6enie.png (219.56 KiB) Прегледано 1782 пъти

[inveidar]

Не мога да го докажа.

Не само Вие...Със знанията за 8 клас е много трудно!

А със знания за 7 клас е сравнително лесно!