Изпъкнал петоъгълник

[Гост]

Нека ABCDE е изпъкнал петоъгълник, такъв, че AB+CD=BC+DE, а окръжност k с център на страната АЕ допира страните AB, BC, CD, DE съответно в точки P, Q, R, S (различни от върховете на петоъгълника). Докажете, че правите PS и AE са успоредни.

[darinalazarova73]

AB+CD=BC+DE
AP+PB+CR+RD=BQ+QC+DS+SE
BP=BQ;CQ=CR;DR=DS (допирателни от външна т.)
AP=SE (1)
Разглеждаме тр-к КАР и тр-к EKS
1 AP=SE (ot (1) )
2 PK=KS (радиуси)
3 ъгъл АРК=ъгъл ESK=90
Следователно тр-к КАР е еднакъв с тр-к EKS,тогава ъгъл АКР=ъгъл EKS (централни)

дъгата А1Р=дъгата Е1S (2) където А1 еКА пресечена с окр.;т.Е1 е КЕ пресачена с окр.
Разглеждаме ъгъл SEA(външен) и ъгъл DSP(периферен)
ъгъл SEA=ъгъл DEA=(дъга A1RS-дъга Е1S)/2=
((180гр.-дъгаЕ1S)-дъга Е1S)/2
ъгълSEA=90град.-дъгаE1S (3)

ъгъл DSP=(дъгаPRS)/2=(дъгаA1RE1-(дъгаА1Р+дъгаЕ1S))/2
ползваме(2)
=(180 град.-(дъгаЕ1S+дъга E1S))/2 получаваме
ъгъл DSP=90град.-дъгаЕ1S (4)

от (3) и (4) следва:ъгъл SEA=ъгъл DSP
Te са СЪОТВЕТНИ ЪГЛИ ,следователно
АЕ е успоредна на PS