Извънкласна работа по математика

[Гост]

1. Да се докаже, че уравнението 5x^2 - 11y = 7 няма решение в множеството на целите числа.
2. Докажете , че ако abcab (не е произведение, а число) при деление с 91 дава остатък 9, то поне една от неговите цифри е равна на 1.
3. Да се докаже, че за всяко естествено число n, което не се дели на 3, числото 2^13-2 дели n^13-n.

[martin123456]

1. Остатъците на квадрат при деление на 11 са както следва:
[tex]0\to 0, 1\to 1, 2\to 4, 3\to 9, 4\to5, 5\to 3, 6\to 3, 7\to 5, 8\to 9, 9\to4, 10\to 1[/tex] и значи са в множеството [tex]\{0,1,3,4,5, 9\}[/tex]. От друга страна уравнението е [tex]5x^2 =11y+7[/tex]. Лявата страна има остатък 7 при деление с 11, а дясната: [tex]\{0,5,4,9,3,1\}[/tex] и значи невъзможно.

2. Числото е [tex]\overline{abcab}=b+10a+100c+1000b+10000a=100c+1001b+10010a=100c+91.11b+91.110a[/tex] и значи дава остатък [tex]100c \equiv 9c \pmod{91}\Rightarrow 9c \equiv 9 \pmod{91} \Rightarrow c \equiv 1 \pmod{91}\Rightarrow c=1[/tex].

3. [tex]2^{13}-2=2(2^{12}-1)=2(2^6+1)(2^6-1)=2.65.63=2.3^2.5.7.13[/tex]
[tex]n^{13}-n=n(n^{12}-1)=n(n^6+1)(n^6-1)=n(n^6+1)(n^3+1)(n^3-1)=[/tex][tex]n(n^2+1)(n^4-n^2+1)(n+1)(n^2-n+1)(n-1)(n^2+n+1)[/tex].
В това произведение имаме поне 2 последователнич числа, например [tex]n, n+1[/tex] и значи се дели на 2.
Ако остатъкът при деление на 3 е 1, то [tex]n-1, n^2+n+1[/tex] се делят на 3 и значи цялото се дели на 9.
Ако остатъкът при деление на 3 е 2, то [tex]n+1, n^2-n+1[/tex] се делят на 3 и значи цялото се дели на 9.
Ако остатъкът при деление на 5 е 0, то [tex]5|n[/tex]
Ако остатъкът при деление на 5 е 1, то [tex]5|(n-1)[/tex]
Ако остатъкът при деление на 5 е 2 или 3, то [tex]5|(n^2+1)[/tex]
Ако остатъкът при деление на 5 е 4, то [tex]5|(n+1)[/tex]
Ако остатъкът при деление на 7 е 0, то [tex]7|n[/tex]
Ако остатъкът при деление на 7 е 1, то [tex]7|(n-1)[/tex]
Ако остатъкът при деление на 7 е 2, то [tex]7|(n^2+n+1)[/tex]
Ако остатъкът при деление на 7 е 3, то [tex]7|(n^2-n+1)[/tex]
Ако остатъкът при деление на 7 е 4, то [tex]7|(n^2+n+1)[/tex]
Ако остатъкът при деление на 7 е 5, то [tex]7|(n^2-n+1)[/tex]
Ако остатъкът при деление на 7 е 6, то [tex]7|(n^2+1)[/tex]
Числото със сигурност се дели на 13 - ако [tex]13|n[/tex] e ясно. Ако ли не, то от малката т-ма на Ферма имаме [tex]n^{12}\equiv 1 \pmod{13}[/tex]