Ирационално уравнение

[atnast]

Да се реши уравнението [tex]\sqrt{3x^{2}-18x+52} +\sqrt{2x^{2}-12x+162}=\sqrt{-x^{2}+6x+280}[/tex].

[Anubis]

Уравнението може да бъде записано във вида

[tex]\sqrt{3(x^2-6x)+52}+\sqrt{2(x^2-6x+81)}=\sqrt{-(x^2-6x-280)}[/tex].

Сега [tex]x^2-6x=t \Rightarrow \sqrt{3t+52}+\sqrt{2(t+81)}=\sqrt{-(t-280)} \Rightarrow t \in \left [ -\frac{52}{3}; \, 280\right ][/tex].

При тези допустими стойности повдигаме на втора степен и след малко сметки стигаме

до уравнението с един радикал

[tex]\sqrt{2(3t+52)(t+81)}=33-3t, \, 33-3t \ge 0 \Rightarrow t \in \left [ -\frac{52}{3}; \, 11 \right ][/tex].

Тук пак вдигаме на втора степен и следователно

[tex]3t^2-788t-7335=0 \Rightarrow t=-9[/tex] (другият корен не е в допустимото множество). Така

[tex]x^2-6x=-9 \Leftrightarrow x^2-6x+9=0 \Leftrightarrow (x-3)^2=0 \Rightarrow x=3[/tex].

[strangerforever]

Да се реши уравнението [tex]\sqrt{3x^{2}-18x+52} +\sqrt{2x^{2}-12x+162}=\sqrt{-x^{2}+6x+280}[/tex].

Нека лявата страна е А, дясната - B.

[tex]min(3x^2 - 18x + 52)[/tex] се достига при x = 3, [tex]min(2x^2 - 12x + 162)[/tex] също => min(A) се достига при 3 и е 17.

От друга страна, max(B) се достига също при 3 и също е 17, следователно единственото решение е x = 3.