Решение в естествени числа

[Гост]

Намерете всички тройки естествени числа [tex]a \le b\le c[/tex], такива, че [tex](1+\frac{1}{a }) (1+\frac{1}{b })(1+\frac{1}{c })=2[/tex].

[alexander_ivanov]

уравнението го записваме във вида:

[tex]\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}=2[/tex]

знаем че [tex]\forall a,b \in \mathbb{N} : a \le b => \frac{a+1}{a} \ge \frac{b+1}{b}[/tex]

от тук следва че при [tex]a \ge 4:[/tex]

[tex]\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c} \le \frac{4+1}{4}.\frac{4+1}{4}.\frac{4+1}{4}=\frac{5}{4}.\frac{5}{4}.\frac{5}{4}=\frac{125}{64} < 2[/tex]

[tex]=>a \le 3[/tex]
тук разглеждаме 3 случея:

1) а=3 => уравнението се записва във вида [tex]\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}=\frac{3}{2}[/tex] и с аналогични разсъждения ще получим, че [tex]a \le b\le 4=> 3 \le b \le 4[/tex] и от тези ограничения получаваме тройките: [tex](3;3;8);(3;4;5)[/tex]

2) а=2 => уравнението се записва във вида: [tex]\frac{b+1}{b}.\frac{c+1}{c}=\frac{4}{3}[/tex] и с аналогични разцъждения ще получим че [tex]a\le b \le 6=> 2\le b\le 6[/tex] от този интервал получаваме като решения тройките: [tex](2;4;15);(2;5;9)[/tex]

3)a=1 => уравнението може да се запише във вида : [tex](a+1)(b+1)(c+1)=2abc => 2(b+1)(c+1)=2bc => (b+1)(c+1)=bc[/tex], което е невъзможно

окончателно тройките са : [tex](2;4;15);(2;5;9);(3;3;8);(3;4;5)[/tex]

[Xixibg]

Я пробвай с [tex]a=2 ; b=6; c=7[/tex]

[alexander_ivanov]

да прав си изпуснал съм тази тройка видях, че имам техническа грешка при решаването на ръка