Рационални числа

[Гост]

Намерете всички тройки (x,y,z) от рационални положителни числа, за които всяко от числата [tex]x+\frac{1}{y } ,y+\frac{1}{z }[/tex]и[tex]z+\frac{1}{x }[/tex] е цяло число.

[martin123456]

Нека [tex]x=\frac{x_1}{x_2}, y=\frac{y_1}{y_2}, z=\frac{z_1}{z_2}, (x_1,x_2)=1,(x_2,y_2)=1,(z_1,z_2)=1, x_i, y_i, z_i \in \mathbb{N}, i=1,2[/tex]
Последователно получаваме, че
[tex]\frac{x_1}{x_2}+\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_1y_1+x_2y_2}{x_2y_1}\Rightarrow x_2|y_1, y_1|x_2\Rightarrow y_1=x_2=a[/tex].
Аналогично [tex]z_1=y_2=b[/tex] и [tex]z_2=x_1=c[/tex].
Значи [tex]x=\frac{c}{a}[/tex], [tex]y=\frac{a}{b}[/tex], [tex]z=\frac{b}{c}[/tex]
Тъй като [tex]x+\frac{1}{y}\in \mathbb{N}\Rightarrow \frac{c+b}{a}\in \mathbb{N}[/tex] и аналогично [tex]\frac{a+c}{b}, \frac{b+a}{c}\in \mathbb{N}[/tex].
Нека [tex]a\le b \le c\Rightarrow \frac{a+b}{c} \le 2\Rightarrow \frac{a+b}{c} \in \{1,2\}[/tex]
1. [tex]a+b=c \Rightarrow x+\frac{1}{y}=1+\frac{2b}{a}, y+\frac{1}{z}=1+\frac{2a}{b}[/tex]. Нека [tex]2b=ak, k \in \mathbb{N}\Rightarrow \frac{2a}{b}=\frac{4}{k}\Rightarrow k|4[/tex]. Но [tex]2b=ak\le bk \Rightarrow k \le 2 \Rightarrow k \in \{2,4\}[/tex].
1.1. [tex]k=2\Rightarrow a=b, c=2a[/tex] и числата са [tex]1,3,3[/tex]
...
Другите случаи са аналогични.