Докажете 3^9+4^9+6^9+8^9 се дели на 91 и на 57

[Гост]

Докажете,че [tex]3^9+4^9+6^9+8^9[/tex] се дели на 91 и на 57.

[mdelyakova]

3^9+4^9+6^9+8^9=
= (3^3)^3 + (4^3)^3 + (6^3)^3 + (8^3)^3=
= (3^3+4^3)(3^6-12^3+4^6) + (6^3+8^3)(6^6-6^3*8^3+8^6)=
= 91(3^6-12^3+4^6)+91*8* (6^6-6^3*8^3+8^6)=
=91(3^6-12^3+4^6+8*6^6-6^3*8^4+8^7)=
=91(3^6+2^3*2^6*3^6 - 2^6*3^3-2^3*3^3*2^12+2^12+2^21)=
=91(3^6(1+512)-3^3*2^6(1+512)+2^12(1+512))

и 57/513 и така задачата е решена.