Задачи от Черноризец Храбър 2012

[Гост]

На колко части разделят равнината 10 окръжности, всеки две от които се пресичат и никои три не минават през една точка?

На кое от изброените числа числото n^2+4n+18 не се дели за никое естествено n?
19, 45, 25, 49, 27


Нуждая се от обяснение на следните задачи.

[inveidar]

По първата задача. Можем да смятаме, че чертаем окръжностите една след друга. Една окръжност разделя равнината на 2 части. Втората окръжност се пресича от първата в две точки, т.е в равнината са се появили две нови хорди. Всяка една от тези две хорди минава през част от равнината и от нея прави две нови части, т.е всяка хорда увеличава предишните части с една(унищожава старата, но създава две нови). Така частите на които две окръжности разделят равнината са равни на старите части плюс броя на хордите върху втората окръжност, т.е на 2+2= 4. Третата окръжност се пресича от първите две в 4 точки. Частите от равнината стават 4+4=8 части. Четвъртата окръжност се пресича от първите три в 6 точки, а следователно върху нея има 6 хорди и съответно частите от равнината се увеличават с 6 и стават общо 8+6=14. Схвана ли логиката? Всяка следваща окръжност, да речем к-тата се пресича от предишните в 2.(k-1) точки и съответно върху нея има 2.(k-1) хорди, а частите от равнината се увеличават с 2.(k-1) хорди. Така получаваме броя 2+2.1+2.2+2.3+2.4+...+2.9=2+2.(1+2+3+...+9)=2+2.45=92.
Аналогично можеш да намериш формула за броя на частите от равнината които се получават при пресичането на n окръжности, а именно [tex]2+2.1+2.2+2.3+...2.(n-1)=2+2.(1+2+3+...+(n-1))=2+2.\frac{(1+n-1).(n-1)}{ 2}=2+n.(n-1)=n^2-n+2[/tex].
Забележка. При това разположение на окръжностите, както е дадено в задачата, се казва, че са дадени 10 окръжности в общо положение.