Три точки, лежащи на една права

[inveidar]

Нека [tex]AA_1[/tex] и [tex]BB_1[/tex] са височините към страните [tex]BC[/tex] и [tex]AC[/tex] в остроъгълния триъгълник [tex]ABC[/tex]([tex]A_1[/tex] и [tex]B_1[/tex] са петите на височините), а [tex]M[/tex] е средата на страната [tex]AB[/tex]. Ако описаната около триъгълника [tex]AMB_1[/tex] окръжност пресича височината [tex]AA_1[/tex] в точка [tex]N[/tex], а описаната около триъгълника [tex]BMA_1[/tex] окръжност пресича височината [tex]BB_1[/tex] в точка [tex]K[/tex], да се докаже, че точките [tex]M,N[/tex] и [tex]K[/tex] лежат на една права.

[drago]

Понеже питаш за трудността и.
Мисля, че става за състезание за 8-ми клас, може би малко над средна трудност, макар че има само вписани ъгли.

[inveidar]

Имам и подточка б). Да се докаже, че тази права е симетрала на отсечката [tex]A_1B_1[/tex].

[drago]

Това по-добре не го включвай. Тази информация решава задачата по-лесно.

[inveidar]

Така е. Зависи от подхода за решение. Иначе двете са еквивалентни.

[inveidar]

Мина една седмица, а никой осмокласник не реши задачата. Предлагам да я реши някой по-голям тогава.

[Xixibg]

Струва ми се прекалено лесна.
Аз я решавам на 5-6 реда??

[Xixibg]

[tex]\triangle ABA_1 ,\triangle ABB_1[/tex] са правоъгълни по условие.
[tex]M[/tex] е среда на [tex]AB ; =>A_1M=B_1M=AM=BM=\frac{1}{2}AB[/tex](Медиана към хипотенуза в правоъгълен триъгълник)
[tex]\angle B_1AM=\angle AB_1M=\alpha ; =>\angle AMB_1=180^\circ -2\alpha[/tex]
[tex]\angle A_1BM=\angle MA_1B=\beta ; =>\angle A_1MB=180^\circ -2\beta[/tex]
[tex]=>\angle B_1MA_1=180-(180^\circ -2\alpha+180^\circ -2\beta)=2\alpha+2\beta -180^\circ=2(180^\circ-\gamma)-180^\circ =180^\circ -2\gamma[/tex]
[tex]\angle B_1AN=\angle B_1MN=\frac{1}{2}\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{B_1N}=90^\circ -\gamma[/tex]
[tex]\angle A_1BK=\angle A_1MK=\frac{1}{2}\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{A_1K}=90^\circ -\gamma[/tex]
[tex]=>\angle A_1MK+\angle B_1MN=180^\circ -2\gamma =\angle A_1MB_1 ; =>M,N,K[/tex] лежат на една права.

А това със симетралата следва веднага от това че [tex]MN[/tex] е ъглополовяща и [tex]\triangle B_1MA_1[/tex] е равнобедрен

[drago]

Не съм го чел подробно, но това е по-дългия начин
По краткия е е да се прекара ъглополовящата на [tex]\angle A_1MB_1[/tex] (симетрала на [tex]A_1B_1[/tex]) и да се докаже, че тя пресича [tex]AA_1[/tex] и [tex]BB_1[/tex] в точки от съответните окръжности.
Затова казах, че тази информация прави задачата по-лесна.

[inveidar]

Оригиналната задача е от втори кръг на руска олимпиада и условието е: [tex]AA_1[/tex] и [tex]BB_1[/tex] са височини в остроъгълния триъгълник АВС. Точките М и N са среди съответно на отсечките [tex]AB[/tex] и [tex]A_1B_1[/tex]. Отсечките [tex]AA_1[/tex] и [tex]KM[/tex] се пресичат в точка L. Докажете, че точките [tex]A,K,L,B_1[/tex] лежат на една окръжност.