Трапец

[mdelyakova]

Основата AB на трапец ABCD е два пъти по-голяма от основата CD. Точката М дели диагонала BD в отношение MB:MD=k. Нека АМ пресича ВС в т.N, а DN пресича AC в т.P.
а) Да се изразят чрез k отношенията AM:AN, BN:BC и DP:DN.
б) Да се изрази векторът MP чрез векторите АB и AD и да се намери при коя стойност на k векторите МP и AD са колинеарни.

[Xixibg]

a)[tex]AM:AN=\frac{2+k}{2(1+k)}[/tex]
[tex]BN:CN=\frac{2k}{2-k}[/tex]
[tex]DP:PN=\frac{k(2+k)}{(2-k)^2}[/tex]
b)[tex]\vec{AB}=\vec{a} ;\vec{AD}= \vec{b}[/tex]
[tex]\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}= \vec{a}+\frac{k}{k+1}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{k}{k+1}\vec{b}-\frac{1}{k+1}\vec{a}[/tex]
[tex]\vec{AP}=\vec{AD}+ \vec{DP}=\vec{b}+\frac{k(2+k)}{2(k^2-k+2)}\vec{DN}= \vec{b}+\frac{k(2+k)}{2(k^2-k+2)}(\vec{AN} -\vec{AD})=\vec{b}+\frac{k(2+k)}{2(k^2-k+2)}(\frac{2(1+k)}{2+k}\vec{AM} -\vec{b})=[/tex]
[tex]=(1-\frac{k(2+k)}{2(k^2-k+2)})\vec{b}+\frac{k(1+k)}{k^2-k+2}\vec{AM}=\frac{(2-k)^2}{2(k^2-k+2)}\vec{b}+\frac{k(1+k)}{k^2-k+2}(\frac{k}{k+1}\vec{b}-\frac{1}{k+1}\vec{a})=\frac{(2-k)^2+2k^2}{2(k^2-k+2)}\vec{b}-\frac{k}{k^2-k+2}\vec{a}[/tex]
[tex]\vec{MP}=\vec{AP}-\vec{AM}=\frac{(2-k)^2+2k^2}{2(k^2-k+2)}\vec{b}-\frac{k}{k^2-k+2}\vec{a}-\frac{k}{k+1}\vec{b}+\frac{1}{k+1}\vec{a}=(\frac{(2-k)^2+2k^2}{2(k^2-k+2)}-\frac{k}{k+1})\vec{b}+(\frac{1}{k+1}-\frac{k}{k^2-k+2})\vec{a}=[/tex]
[tex]\frac{k^3+k^2-4k+4}{2(1+k)(k^2-k+2)}\vec{b}+\frac{2(1-k)}{(1+k)(k^2-k+2)}\vec{a}[/tex]

[tex]\vec{MP}[/tex]е колинеарен на [tex]\vec{AD}[/tex] за [tex]k=1[/tex] и [tex]\vec{MP}=\frac{1}{4}\vec{AD}[/tex]

[mdelyakova]

Благодаря ти много, но може ли да ми кажеш как получи отношенията

[Xixibg]

Да си призная използвах подобни триъгълници ,което е материал за 9-ти клас, но може да се намерят отношенията и с вектори.