Геометрично място на точки

[mdelyakova]

Дадени са неуспоредните отсечки AB и CD. Да се намери геометричното място на точки M, за които SABM=SCDM.

[Levskiiii]

Не съм го измислил докрай, казвам само каквото се сетих
Значи нека да считаме, че самите отсечки АВ и CD не се пресичат (т.е. ще се пресекат когато се продължат), тъй като другия случай е аналогичен.
Нека правите АВ и СD се пресичат под ъгъл х (под х имам предвид острия ъгъл на пресичане). Ако построим права през А, успоредна на CD и върху нея изберем точка К, такава че К и отсечката CD са в различни полуравнини относно АВ и АК = CD. Ясно е, че <KAB = 180 - x. Oт друга страна, ние търсим такива точки М, че SABM = SCDM, т.е АВ.MP = CD.MQ, където M и Q са петите на перпендикулярите от М съответно към АВ и CD. Равенството е еквивалентно на AB : MQ = CD : MP, т.е.
АВ : MQ = AK : MP и освен това <QMP = <KAB = 180 - x, т.е. \Delta QMP \approx \Delta BAK, откъдето следва, че търсим ГМТ на точките Q и P, такова че BK : QP = AB : CD и разбира се, Q и Р лежат съответно на CD и АВ.
Надявам се това да ви свърши работа

[alexander_ivanov]

решението което измислих е доста дълго и мисля да го напиша на лист и да го сканирам и да го постна, това ще стане утре, но засега ще напиша само отговора до който достигам(т.е. самото геом. място и по-точно начина на построяването му)
ако [tex]AB \in a[/tex] ; [tex]CD \in b[/tex]
то
1) постр.прави [tex]c, d[/tex] такива, че те са успоредни на [tex]a[/tex], на разстояние [tex]CD[/tex] и са в 2-те различни полуравнини на [tex]a[/tex]
2)постр. прави [tex]e, f[/tex] такива, че те са успоредни на [tex]b[/tex], на разстояние [tex]AB[/tex] и са в 2-те различни полуравнини на [tex]b[/tex]
3)[tex]c\cap e= A_1; c\cap f=D_1; d\cap e=B_1; d\cap f=C_1[/tex]
=> [tex]\forall M\in A_1C_1 \& M\in B_1D_1[/tex] условието на задачата е изпълнено и това са всички точки за които това е изпълнено т.е. правите [tex]A_1C_1 \& B_1D_1[/tex] са геом. място на точките M