ЗМС 2013 8 клас

[carnige]

Да се намерят всички естествени числа n, които имат такъв делител d, че n^4+d^3 се дели на n^2.d+1.

Задачата е трета от ЗМС. Не мога да намеря решение в интернет и се надявам някой да се справи.

[alexander_ivanov]

[tex]n=1[/tex] е очевидно решение [tex]=>[/tex] БОО нека [tex]n>1[/tex]
ако [tex]d=1 => n^4+1[/tex] се дели на [tex]n^2+1[/tex]
[tex]=> (n^2+1)|(n^4+1)=> (n^2+1)|(n^4+1-n^2-1) <=> (n^2+1)|n^2(n^2-1),[/tex] от [tex]n>1=>(n^2;n^2+1)=1[/tex]
[tex]=>(n^2+1)|(n^2-1),n^2+1>n^2-1 =>[/tex]
[tex]1)n^2+1=1 <=> n=0 =>[/tex] противоречие
[tex]2) n^2-1=0 <=> n=1[/tex] , но [tex]n>1 =>[/tex] противоречие
[tex]=> n^3+1[/tex] не се дели на [tex]n^2+1[/tex]
[tex]=>d\neq 1[/tex]
представяме като [tex]n=dk , k\in \mathbb{N}, d\neq 1[/tex]
[tex]=> (n^2d+1)|(n^4+d^3)<=>(d^3k^2+1)|(d^4k^4+d^3)<=>(d^3k^2+1)|d^3(dk^4+1),(d^3;d^3k^2+1)=1=>(d^3k^2+1)|(dk^4+1)[/tex]
[tex]=>(d^3k^2+1)|(dk^4+1-d^3k^2-1)<=>(d^3k^2+1)|dk^2(k^2-d^2),(d^3k^2+1;dk^2)=1=>(d^3k^2+1)|(k^2-d^2)[/tex]
[tex]=>(d^3k^2+1)|(d^2-k^2)[/tex]
от [tex]d,k\in \mathbb{N} => d^3k^2+1>d^3[/tex] от [tex]d>1 => d^3>d^2[/tex]
от [tex]d,k\in \mathbb{N} =>d^2>d^2-k^2=>d^3k^2+1>d^2-k^2 & (d^3k^2+1)|(d^2-1) =>[/tex]
[tex]1)d^3k^2+1=1 <=> d[/tex] и/или [tex]k = 0 => n=0 =>n\notin \mathbb{N} =>[/tex] противоречие
[tex]2)d^2-k^2=0 <=> d^2=k^2 <=> |d|=|k| <=> d=k (d,k\in \mathbb{N})[/tex]
[tex]=>n=d^2,d=q => (n^2d+1)|(n^4+d^3)<=>(q^5+1)|(q^8+q^3)=> (q^5+1)|q^3(q^5+1)[/tex] , това е вярно
[tex]=>n[/tex] е точен квадрат; [tex]1[/tex] също е точен квадрат
=> всяко [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] точен квадрат има делител [tex]d[/tex] , за които [tex](n^2d+1)|(n^4+d^3)[/tex]

[alexander_ivanov]

Поправка:
[tex]n^4+1[/tex] не се дели на [tex]n^2+1[/tex]

[drago]

Дълго, сложно и някак... сметки, сметки без да става ясно какво точно правим и защо, но важното е че си я решил! Един съвет, надявам се да не се засегнеш. Вмъквай понякога и някоя дума между дългата поредица символи. Все пак това не се чете от машини.

Нека [tex]d[/tex] е делител на [tex]n[/tex]. Делим [tex]n^4 + d^3[/tex] на [tex]d n^2 +1[/tex].

[tex]n^4+d^3 = \frac{n^2}{d} + \frac{d^3-n^2/d}{d n^2 +1}[/tex]. Значи трябва да е цяло това:

(1) [tex]\frac{d^3-n^2/d}{d n^2+1}[/tex].

Виждаме, че е много вероятно числителят на горната дроб по абсолютна стойност да е строго по-малък от знаменателя. Eто това е идеята на цялата задача и мотивацията ни по-нататък. Трябва да докажем, че:

(2) [tex]|d^3-n^2/d| < |d n^2 +1|[/tex] за [tex]1 \leq d \leq n[/tex].

За да се освободим от абсолютната стойност разглеждаме два случая а) [tex]1 \leq d \leq sqrt{n}[/tex] и b) [tex]sqrt{n} < d \leq n[/tex]. Във всеки от двата случая махаме абсолютните стойности и извършваме малко сметки. Не използваме никакви съображения за делимост. Просто доказваме неравенството. След като сме установили (2), за да е цяло (1) единствената възможност е числителят да е [tex]0[/tex].
[tex]d^3-n^2/d=0[/tex] <=> [tex]d^2=n[/tex] ,
което означава [tex]n[/tex] да е точен квадрат. Очевидно, когато [tex]n[/tex] е точен квадрат и [tex]d=\sqrt{n}[/tex], то (1) е цяло. Това е.

И тъй като любопитството е в природата на човек, да видим какво е официалното решение:

ZMS_8.3.png (71.41 KiB) Прегледано 720 пъти

Чета го и се чудя следното. След като заключаваме, че [tex]k- d^3[/tex]се деки на [tex]n^2[/tex] , което е ОК, са изредени 2 случая. А не е ли възможно [tex]k-d^3[/tex] да е отрицателно. Това въобще не е коментирано, а хипотетично е възможно и или трябва да се изключи(с някаква обосновка), или да се разгледа !!

[alexander_ivanov]

Когато писах решението ме мързеше да изписвам всичко(или поне по-голямат част) от решението с думи, не просто с изрази, за 2-ри път. Реших, че и така написано ,дори и малко по-трудно за четене, решението е разбираемо. Извинявам се ако съм създал неудобство на carnige и се надявам да е разбрал написаното от мен, ако не, поне да е разбрал авторовото решение.
По отношение въпроса по авторовото решение: ще помисля още малко защото е много възможно авторът да е изпуснал 1-2-3-... реда от решението които "се подразбират"

[Гост]

По отношение въпроса по авторовото решение: ще помисля още малко защото е много възможно авторът да е изпуснал 1-2-3-... реда от решението които "се подразбират"

Помисли си и дали и твоето решение няма същия недостатък.

[alexander_ivanov]

прав си, че не съм го написал, само ще спомена, че неравенствата се запазват за [tex]k^2-d^2>0[/tex], но тогава разглеждаме неравенства относно [tex]k[/tex], а не относно [tex]d[/tex]. Това мисля, че е достатъчно да поправи този пропуск.