равнобедрен триъгълник

[Xixibg]

Точка [tex]D[/tex] е средата на основата на равнобедрения [tex]\triangle ABC (AC=BC)[/tex] , а отсечката [tex]DE\bot BC ; E\in BC[/tex]. Точка [tex]M[/tex] е средата на [tex]DE , AE\cap CM=O[/tex].Ако [tex]CE:BE=1:3[/tex] да се намери [tex]\angle EOM[/tex]

[ganka simeonova]

Прав ъгъл. Само ще набележа стъпките, които аз използвах.1) От отношението лесно се доказва, че ъглите са 30, 30, 120
2) Построявам и медианата DK в правоъгълния триъгълник EDB и доказвам, че [tex]CM\bot DK[/tex]
3)Доказвам, че [tex]AE||DK[/tex] , следва че ъгълът е прав.

[inveidar]

Защо ти е отношението? (Ааааа, може би, защото трябва да не се ползва теорема на Талес??? Но това, че [tex]HN=NT[/tex] може да се докаже и с вектори!)Ъгълът винаги е прав.
Просто трябва да си построиш височините, да докажеш, че [tex]HN=NT[/tex], от което следва, че [tex]EN[/tex] е средна отсечка в [tex]\Delta HBT[/tex](преди това доказваш, че [tex]BE=ET[/tex]). Следователно [tex]EN||BP[/tex], от което пък следва, че като продължиш [tex]EN[/tex] до пресичането и с [tex]AC[/tex] в точка [tex]L[/tex], то [tex]EL[/tex] се явява височина в триъгълника [tex]AEC[/tex]. Но и [tex]AT[/tex] е височина в същия триъгълник, т.е [tex]N[/tex] е ортоцентър в този триъгълник и следователно [tex]\angle AOC=90^{0}[/tex]

xixi.png (17.52 KiB) Прегледано 1096 пъти

[Xixibg]

Добре де,
Всичко което правите е така , но как ще я реши седмокласник?
Не са учени вектори , не са учени средни отсечки.........
Ъгълът е прав за произволен триъгълник ,но не може да се докаже с материал за 7-ми клас.

[ganka simeonova]

Свойството на средната отсечка се доказва и с материал за 7 клас

[inveidar]

Е, то пише 7,8 клас. Ти кажи, че искаш само със материал за 7 клас. Тогава съм съгласен, че няма да стане без ъглите.

[Xixibg]

Е, то пише 7,8 клас. Ти кажи, че искаш само със материал за 7 клас. Тогава съм съгласен, че няма да стане без ъглите.

Така е.За съжаление няма отделна тема олимпиади за 7-ми клас.Иначе в общия случай за произволен триъгълник задачата е приятна , но сравнително лесна за 9-ти клас.

Има решение на 5-6 реда(до 10 реда ако трябва да докажем и че ъглите са [tex]30^\circ ,30^\circ ,120^\circ[/tex]) с учебния материал за 7-клас ,а именно 2 успоредни прави пресечени с трета , еднакви триъгълници и свойствата на равнобедрен и правоъгълен триъгълник