Много добра задача

[ins-]

В триъгълник [tex]ABC[/tex] - [tex]AB=c[/tex], а [tex]X[/tex] и [tex]Y[/tex] са произволни точки от страните [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex]. [tex]K[/tex], [tex]L[/tex], [tex]M[/tex], [tex]N[/tex] са средите на [tex]AX[/tex], [tex]CX[/tex], [tex]BY[/tex], [tex]CY[/tex]. [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] са средите на [tex]KN[/tex] и [tex]LM[/tex]. Да се намери дължината на отсечката [tex]PQ[/tex].

[Magic-M]

Ето едно решение с материал за 9-ти клас.
Построяваш си отсечката [tex]KM[/tex] и отбелязваш средата и с точка [tex]T[/tex].По този начин [tex]PT[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle KMN[/tex] , а [tex]QT[/tex]е средна отсечка в [tex]\triangle KML[/tex].[tex]KL=\frac{1}{2}AC , MN=\frac{1}{2}BC .[/tex]
[tex]=>TP|| BC ;TP=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{4}BC[/tex]
[tex]=>TQ||AC ; TQ=\frac{1}{2}KL=\frac{1}{4}AC[/tex]
[tex]=>\angle PTQ=\angle ACB[/tex]
[tex]=>\triangle ABC \approx \triangle PQT[/tex] по 2-ри признак с коефициент на подобие [tex]\frac{1}{4}[/tex]
Следователно [tex]PQ=\frac{1}{4}AB[/tex]

Много ми е интересно да видя решението за 8-мо класници.Сигурно има векторно.Въпросът е има ли планиметрично?

[Гост]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=527184 ето едно.