Геометрична задача

[vessy234]

Даден е 4-к ABCD (ABIICD) AD=BC AC \cap BD в т.О. \angle AOB=60 ^\circ .M,N,P среди съответно AO,DO,BC.Док,че \Delta MNP равностранен.Благодаря предварително!

[math10.com]

Ol7-8.png (54.88 KiB) Прегледано 488 пъти

Даденият четириъгълник е равнобедрен трапец ([tex]AB||CD ; AD=BC[/tex]).
[tex]=> \triangle ABO , \triangle CDO[/tex] са равностранни ([tex]\angle AOB=\angle COD=60^\circ ; AO=BO=a ; CO=DO=b[/tex]).
На продълженията на [tex]AB[/tex] и [tex]AC[/tex] построяваме точки [tex]E[/tex] и [tex]F[/tex] такива че [tex]AE=AF=b[/tex]
[tex]ACDE[/tex] е успоредник[tex]AE=DC ; AE||CD ; =>\triangle EBD[/tex] е равностранен .
Следователно [tex]EB=BD=DE=AC=a+b[/tex]
[tex]\triangle EBF,\triangle BCD[/tex] са еднакви по 1-ви признак [tex]=>BF=BC[/tex] като СЕЕТ
[tex]MP,MN[/tex] са средни отсечки съответно в [tex]\triangle FBC,\triangle AOD ; =>MP=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=MN[/tex]
Нека [tex]\angle PMC=\alpha ;=>\angle BFC=\angle BCF=\alpha ;(\triangle BFC[/tex] е равнобедрен[tex])[/tex]
[tex]=>\angle BCD=\angle ADC=60^\circ +\alpha[/tex]
[tex]=>\angle ABC=\angle BAC=120^\circ -\alpha[/tex]
[tex]=>\angle CMN=\angle CAD=60^\circ -\alpha[/tex]
[tex]=>\angle PMN=\angle PMC+\angle CMN=60^\circ -\alpha +\alpha =60^\circ[/tex]
Следователно [tex]\triangle MNP[/tex] е равностранен (равнобедрен с ъгъл [tex]60^\circ[/tex])

[inveidar]

dddd.png (29.3 KiB) Прегледано 483 пъти

Нека точките K, P, L са средите съответно на отсечките ОВ, ВС и ОС. Лесно се доказва, че четириъгълниците NKPL и LKPC са съответно равнобедрен трапец и успоредник, а триъгълниците OCD и ONL са равностранни. После всичко се вижда на чертежа.

[monika_at]

Може да се използва и това, че [tex]CN\bot DO=>\Delta CNB[/tex]-правоъгълен. NP e медиана към хипотенузата СВ=> е половина от нея. Аналогично и за МР.

[inveidar]

Да, това е най-популярното решение на тази задача.