Математически индукции

[vessy234]

Извинете искам да питам за този израз,понеже не съм сигурна дали съм го решила правилно.
1/2 Х 3/4 Х.......... Х 2n-1/2n<1/ √(3n+1).Благодаря предварително!

[admin]

Напишете, ако обичате вашето решение, за да видим дали е правилно.

[vessy234]

Ами аз повдигам множителите на 2 степен,за да мога да избегна корена и става: ((((1)^(2)))/(((2)^(2)))).((((3)^(2)))/(((4)^(2)))) ……………….. .(((((2n-1))^(2)))/((((2n))^(2)))) след това представям като:((1.3)/(((2)^(2)))).((3.5)/(((4)^(2))))…….(((2n-1)(2n+1))/((((2n))^(2)))).((1)/(2n+1)) .Всички множители са по-малки от 1,но според мен (((2n-1)(2n+1))/((((2n))^(2))))<((1)/(3n+1)) значи изразът е<от 1/sqrt(3n+1)

[monika_at]

Защо не се научиш да пишеш на LaTeX?
Само като видя тези писаници, не ми се сърди, но се отказвам тотално да чета (по-скоро да се старая да разбера за какво иде реч).

[vessy234]

Съжалявам аз пиша на една програма,но явно форума не я разчита.

[vessy234]

Не знам дали е вярно.Това е каквото съм установила за решение.Моля за корекции от ваша страна!

[kmitov]

Нреавенството е [tex]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.\ldots.\frac{2n-1}{2n} <\frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/tex].

При n=1 e равенство [tex]\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/tex]. При n=2 е вярно като строго неравенство
[tex]\frac{1}{2}.\frac{3}{4} <\frac{1}{\sqrt{7}} \Leftrightarrow \frac{3}{8} <\frac{1}{\sqrt{7}} \Leftrightarrow \frac{9}{64} < \frac{1}{7} \Leftrightarrow 63<64.[/tex]

Да допуснем, че е вярно за [tex]n[/tex], т.е. вярно е
[tex]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.\ldots.\frac{2n-1}{2n} <\frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/tex].

Ще докажем, че е вярно за [tex]n+1[/tex], т.е. вярно е
[tex]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.\ldots.\frac{2n-1}{2n}.\frac{2n+1}{2n+2} <\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}[/tex].

Като използваме предположението, трябва да докажем, че
[tex]\frac{1}{\sqrt{3n+1}}.\frac{2n+1}{2n+2} <\frac{1}{\sqrt{3n+4}}[/tex],
което е еквивалентно на
[tex](2n+1)\sqrt{3n+4}<(2n+2)\sqrt{3n+1}[/tex].
След повдигане на квадрат и опростяване се получава [tex]19n<20n[/tex], което е вярно.
С това индукцията е завършена.

[pal702004]

В такива случаи мааалко по удобен е индукционният преход от n-1 към n, вместо от n към n+1.
В такъв случай се доказва:

[tex]\frac{1}{\sqrt{3n-2}}\cdot \frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/tex]

[kmitov]

Да, сметката е малко по-кратка.