Неравенство

[LazyWorker]

Докажете, че ако x>0, y>0, z>0 и x+y+z=1, то
(y+z)/yz + (z+x)/zx + (x+y)/xy ≥ 18.

[math10.com]

[tex]\frac{x+y}{xy}+\frac{x+z}{xz}+\frac{y+z}{yz }\ge 18[/tex]

[tex]\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}+\frac{x}{xz}+\frac{z}{xz}+\frac{y}{yz}+\frac{z}{yz} \ge 18[/tex]

[tex]\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y} \ge 18[/tex]

[tex]2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 18[/tex]

[tex]\frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 3[/tex]

[tex]\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{3z} \ge 3[/tex]

[tex]\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{3z} +3(x+y+z)\ge 3+3(x+y+z)[/tex]

[tex]\frac{1}{3x}+3x+\frac{1}{3y}+3y+\frac{1}{3z} +3z \ge 6[/tex]

Остана да докажем неравенството:[tex]a+\frac{1}{a} \ge 2[/tex] , за [tex]a>0[/tex]

[tex]a+\frac{1}{a} \ge 2[/tex]

[tex]a+\frac{1}{a}-2 \ge 0[/tex]

[tex]\frac{a^2+1-2a}{a} \ge 0[/tex]

[tex]\frac{(a-1)^2}{a} \ge 0[/tex] , с което неравенството е доказано....

[tex]\Right 3x+\frac{1}{3x} \ge 2 ; 3y+\frac{1}{3y} \ge 2;3z+\frac{1}{3z} \ge 2[/tex]

С което задачата е решена