Australian Mathematic Competition

[vessy234]

Моля някой да помогне.Затруднена съм с решаването.Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

Нека цифрите са a,b,c. Най напред покажи, че сумата на шестте числа е [tex]222(a+b+c)[/tex] (виж по-долу), тогава шестото е [tex]222(a+b+c)-3231[/tex] и то трябва да е трицифрено с различни ненулеви цифри. За [tex]a+b+c=18[/tex] се получава [tex]222.18-3231=765[/tex] и сумата от цифрите му е [tex]18[/tex]. За другите стойности на a+b+c или не се получава трицифрено число с различни цифри, или сумата от цифрите му не е a+b+c. Например за [tex]a+b+c=16\Rightarrow 16.222-3231=321[/tex] - трицифрено число с различни цифри, но сумата от цифрите му е [tex]6\neq 16[/tex]

Може би ще те затрудни и тази сума ([tex]222(a+b+c)[/tex]). Просто си запиши шестте числа в разгърнат вид по степените на [tex]10[/tex]:

[tex]100a+10b+c[/tex]
[tex]100a+10c+b[/tex]
[tex]100b+10a+c[/tex]
[tex]100b+10c+a[/tex]
[tex]100c+10a+b[/tex]
[tex]100c+10b+a[/tex]
___________________

[tex]100a+100a+10a+10a+a+a+100b+100b+10b+10b+b+b+100c+100c+10c+10c+c+c=222a+222b+222c[/tex]

[vessy234]

Много рационално и ясно обяснимо.Благодарности