задача от олимпиадата

[petq]

Задача 3 от втория кръг на олимпиадата.
Да се намерят всички цели положителни числа n, за които числото [tex]n^{5 }+3n+4[/tex] е степен на числото 2.

[martin123456]

[tex]n^5+3n+4=n^5+1+3n+3=(n+1)(n^4-n^3+n^2-n+1)+3( n+1)=(n+1)(n^4-n^3+n^2-n+4)[/tex]
нека [tex]d=gcd(n+1, n^4-n^3+n^2-n+4)[/tex]. Второто представяме във вида [tex](n^4+n^3)+(-2n^3-2n^2)+(3n^2+3n)-4n+4[/tex]. всички изрази в скобите се делят на [tex]n+1[/tex]=>[tex]d|(4n-4)[/tex]. От [tex]d|(n+1)[/tex]=>[tex]d|(4n+4)[/tex]=>[tex]d|8[/tex]. Да забележим че искаме [tex]n^5+3n+4=2^k[/tex], [tex]k \geq 1[/tex]=>[tex]n[/tex] е нечетно=> [tex]2|(n+1)[/tex], но [tex]2|(n^4-n^3+n^2-n+1)[/tex] не е вярно. => [tex]d=1[/tex]. значи единият от множителите е [tex]1[/tex]. не е първият, значи е вторият.
[tex]n^4-n^3+n^2-n+1=1[/tex], [tex]n^3(n-1)+n(n-1)=0[/tex], [tex]n(n-1)(n^2+1)=0[/tex]=>[tex]n=1[/tex]
проверка показва че е решение.

[petq]

ще може ли разлагането на [tex]n^{5 }+1[/tex] по-подробно?

[tex]2|(n^4-n^3+n^2-n+1)[/tex] не е вярно.

мисля, че тук трябва да е +4, което всъщност е вярно, и освен това n=3 също е решение.

[martin123456]

да +4 е.
[tex]n^5+3n+4=n^5+1+3n+3=(n+1)(n^4-n^3+n^2-n+1)+3( n+1)=(n+1)(n^4-n^3+n^2-n+4)[/tex]
нека [tex]d=gcd(n+1, n^4-n^3+n^2-n+4)[/tex]. Второто представяме във вида [tex](n^4+n^3)+(-2n^3-2n^2)+(3n^2+3n)-4n+4[/tex]. всички изрази в скобите се делят на [tex]n+1[/tex]=>[tex]d|(4n-4)[/tex]. От [tex]d|(n+1)[/tex]=>[tex]d|(4n+4)[/tex]=>[tex]d|8[/tex]. Да забележим че искаме [tex]n^5+3n+4=2^k[/tex], [tex]k \geq 1[/tex]=>[tex]n[/tex] е нечетно=> [tex]2|(n+1)[/tex] и [tex]2|(n^4-n^3+n^2-n+4)[/tex]. значи [tex]2|d[/tex]. значи стойностите на [tex]d[/tex] са [tex]d \in \{2,4,8\}[/tex]. записваме уравнението като [tex]\frac{n+1}{2}.\frac{n^4-n^3+n^2-n+4}{2}=2^{k-2}[/tex], [tex]k \geq 2[/tex]. Множителите са взаимнопрости, а освен това са степени на двойката, значи единият е [tex]1[/tex].
1) [tex]\frac{n+1}{2}=1[/tex] => [tex]n=1[/tex]. Проверка позва че е решение.
2) [tex]\frac{n+1}{2}=2^{k-2}[/tex], [tex]n^4-n^3+n^2-n+2=0[/tex] => [tex]n+1=2^{k-1}[/tex]. Ако [tex]k=2[/tex]=>[tex]n=1[/tex], което не е ново. Ако [tex]k=3[/tex]=>[tex]n=3[/tex]. Казваш че е решение. Нека [tex]k \geq 4[/tex]=>[tex]n+1 \equiv 0 (mod 8)[/tex]. Заместваме в [tex]n^4-n^3+n^2-n+2=0[/tex] по модул 8: [tex]1+1+1+1+2 \equiv 0 (mod 8)[/tex]. Това не е вярно.
значи [tex]n \in \{1,3\}[/tex].

[lkz]

Добре защо n да не е равно на 3? Заместваме в :
[tex]n^{5}+3n+4=3^{5}+3*3+4=243+9+4=252+4=256[/tex], а [tex]\sqrt[8]{256}=2[/tex]

edit: извинете! докато пишех и другият пост излезе :S