za 7 klas

[1089]

[tex]7^a=3*2^b+1 (a,b)\in N[/tex]

[martin123456]

само седмокласници ли да я решават

[1089]

Аз съм 7 клас и от доста време се мъча да я реша така ще се радвам да покажеш

[martin123456]

[tex]7^a=3*2^b+1[/tex]
1. [tex]b=1[/tex]=>[tex]a=1[/tex]=>[tex](1,1)[/tex]
2. [tex]b \geq 2[/tex]=> [tex]3.2^b+1 \equiv 1 (mod 4)[/tex]=>[tex]7^a \equiv 1 (mod 4)[/tex]=>[tex](-1)^a \equiv 1 (mod 4)[/tex]=>[tex]a=2a_1[/tex]
[tex](7^{a_1}+1)(7^{a_1}-1)=3.2^b[/tex]
[tex]d=gcd(7^{a_1}+1,7^{a_1}-1)[/tex]=>[tex]d|2[/tex]. още [tex]7^{a_1} \equiv 1 (mod 3)[/tex]=>[tex]3|(7^{a_1}-1)[/tex]=> [tex]\frac{7^{a_1}+1}{2}.\frac{7^{a_1}-1}{6}=2^{b-2}[/tex]. множителите са степени на 2ката и са взаиммнопрости=> единият е равен на 1.
2.1. [tex]7^{a_1}+1=2[/tex]=>[tex]\empty[/tex]
2.2 [tex]7^{a_1}-1=6[/tex]=>[tex]a_1=1[/tex]=>[tex]a=2[/tex]=>[tex]b=4[/tex]=>[tex](2,4)[/tex].