Задачи за подготовка

[inveidar]

Задачи за подготовка за националната олимпиада по математика – 8-ми клас

Задача 1. Влади тича по писта с формата на окръжност с постоянна скорост. На две места до пистата има по един фотограф. След старта в продължение на 2 минути Володя се намирал по-близо до първия фотограф, след това 3 минути по-близо до втория фотограф, след което отново по-близо до първия. За колко време Володя изминава една обиколка на пистата?

Задача 2. Точка Е е от вътрешността на успоредника АВСD и CD=CE. Да се докаже, че правата DE е перпендикулярна на правата, минаваща през средите на отсечките АЕ и ВС.

Задача 3. Мишо забелязал, че на електронното табло, показващо курса на долара спрямо рублата (четири цифри, разделени с десетична запетая), светят същите различни цифри, както преди един месец, но в различен ред. При това курсът се е увеличил точно с 20 процента. Дайте пример как това би могло да се случи.

Задача 4. Ще наричаме едно естествено число почти квадрат, ако то е или точен квадрат на цяло число, или произведение на точен квадрат на цяло число и просто число. Съществуват ли осем поредни почти квадрата?

Задача 5. В остроъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex], в който [tex]∡A=45^0[/tex], са построени височините [tex]AA_1,BB_1[/tex] и [tex]CC_1[/tex]. Ъглополовящата на ъгъл [tex]BAA_1[/tex] пресича правата [tex]B_1 A_1[/tex] в точка [tex]D[/tex], а ъглополовящата на ъгъл [tex]CAA_1[/tex] пресича правата [tex]C_1 A_1[/tex] в точка [tex]E[/tex]. Пресметнете ъгъла между правите [tex]BD[/tex] и [tex]CE[/tex].

Задача 6. Император поканил на празник 2015 вълшебника, някои от които добри, а останалите зли. Добрият вълшебник винаги казва истината, а злият може да казва каквото си иска. При това вълшебниците знаят кой от тях е добър и кой зъл, а императорът не знае. На празника императорът задава на всеки от вълшебниците по един въпрос ( в какъвто ред си пожелае ), на който те могат да отговорят с ДА или НЕ. Задавайки на всеки от вълшебниците по един въпрос, императорът изгонва един от тях. Изгоненият вълшебник излиза през вълшебна врата и императорът разбира добър ли е бил той или зъл. След това императорът отново задава по един въпрос на останалите вълшебници, отново изгонва един от тях и т.н докато не реши да спре ( това може да направи след всеки един въпрос ). Докажете, че по този начин императорът може да изгони всичките зли вълшебници, като при това изгони заедно с тях не повече от един добър вълшебник.

[inveidar]

Не успях да поправя навсякъде Володя с Влади! Един и същи човек е. Както сте се досетили, задачите са руски. Очаквам мнение за сложността им.

[Zarrie]

По първата задача : Да считаме ли, че може някой от фотографите да е по-отдалечен от пистата спрямо другия ?
Смятам, че отговорът на 1) е 6 минути

[ptj]

Задача 3. Мишо забелязал, че на електронното табло, показващо курса на долара спрямо рублата (четири цифри, разделени с десетична запетая), светят същите различни цифри, както преди един месец, но в различен ред. При това курсът се е увеличил точно с 20 процента. Дайте пример как това би могло да се случи.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Става много бързо ако имаш стара четиризначна таблица, съдържаща произведението на двуцифрените числа.

Гледаш графата за умножение с 12 и търсиш 3-цифрен резултат съдържащ 0, а от останалите 2 едната да е в графата от ляво, докато другата в графата горе.

Т.е. 45.12=540.

Възможен вариант е първи курс 0.450 , втори курс 0.540 .

[Zarrie]

Правата p е такава, че, ако точката "Volodq" се намира "отгоре" на нея, то той е по-далеч от фотограф 2 и по-близо до фотограф 1. Очевидно е, че вторият интервал, а именно този от 3 минути е, такъв, че независимо къде се намират фотографите, той е половината от пистата, защото по условие той трябва да се намира "под" старта. С други думи 3-те минути са константа и са половината от пистата
*движим се обратно на часовниковата стрелка
От "start" до преминаването на правата p, Volodq е по-близо до фотограф 1. Преминавайки под правата p Volodq е по-близо до фотограф 2 и тук е ключовият момент.
Видях, че ptj изтри мнението си, срещу, което се обосновавах

[ptj]

По първата задача : Да считаме ли, че може някой от фотографите да е по-отдалечен от пистата спрямо другия ?
Смятам, че отговорът на 1) е 6 минути

Очевидно е, че втория фотограф се намира на 3,5 (2+3/2) минути от началото на пистата по посока на движение. Проблема е, че първия фотограф може да е както на 1-вата минута, така и в края на пистата (старта).

Тогава времето за обиколка на пистата се получава между 5 и 7 минути.

Интересно какво е авторовото решение?

[Zarrie]

Интересно какво е авторовото решение?

И аз бих се радвал, ако Invader споделя решенията на вече обсъдените задачи.

[pal702004]

Да се включа и аз...на лесното

Задача 4. Ще наричаме едно естествено число почти квадрат, ако то е или точен квадрат на цяло число, или произведение на точен квадрат на цяло число и просто число. Съществуват ли осем поредни почти квадрата?

Между осем поредни естествени числа има точно две числа [tex]2 \pmod 4[/tex] с разлика между тях 4. Те не могат да са квадрати, могат да са "почти", ако "простото число" от условието е 2. Но [tex]2u^2-2v^2=4[/tex] няма решения в цели числа.

[inveidar]

Задача 3. Мишо забелязал, че на електронното табло, показващо курса на долара спрямо рублата (четири цифри, разделени с десетична запетая), светят същите различни цифри, както преди един месец, но в различен ред. При това курсът се е увеличил точно с 20 процента. Дайте пример как това би могло да се случи.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Става много бързо ако имаш стара четиризначна таблица, съдържаща произведението на двуцифрените числа.

Гледаш графата за умножение с 12 и търсиш 3-цифрен резултат съдържащ 0, а от останалите 2 едната да е в графата от ляво, докато другата в графата горе.

Т.е. 45.12=540.

Възможен вариант е първи курс 0.450 , втори курс 0.540 .

Цифрите не са ти различни, а и курсът на долара спрямо рублата не е по-малък от 1!

[inveidar]

Интересно какво е авторовото решение?

И аз бих се радвал, ако Invader споделя решенията на вече обсъдените задачи.

Отговорът е 6 минути, а решението утре!

[ptj]

Да, на първа отговора е 6, обаче zarrie не го бива в обясненията.

Симетралата на коя да е хорда е диаметър на окръжността, т.е дели я на две полуокръжности. Затова 3 минути бегача се движи в едната полуокръжност или цялата ще я измине за 6 мин.

П.П. В предния коментар смятах разстоянията по дължината на окръжността...

[math10.com]

Геометричните изглеждат леки.2-ра е рутинна задача за 8-ми клас.Не би трябвало да затрудни участниците.5-та е готина олимпиадна задачка. Има доста по-просто решение с окръжност и вписани ъгли.Решението ,което съм предложил е за 7-ми клас , като съм доказал едно твърдение често задавано в задачи за 7-ми клас.Мисля че ще бъде интересно и полезно на читателите...

zada4a2.png (59.51 KiB) Прегледано 1298 пъти

zada4a5.png (66.55 KiB) Прегледано 1296 пъти

[inveidar]

Много добри решения! За трудността ще говорим като решите всичките, или почти всичките. Аз мислех осмокласниците да се упражняват за предстоящия национален кръг, но и така става.

[ptj]

http://olympiads.mccme.ru/mmo/2015/78mmo.pdf

[inveidar]

Е, защо разкри тайната?! Така е. Направих си труда да преведа задачите от Московската математическа олимпиада - финален кръг за 8-ми клас. Както забелязвате, от 6 задачи три са постижими за ученик със стабилни училищни знания и малко съобразителност. От другите три (4,5 и 6) само четвърта изисква допълнителен материал. Шестата спокойно може да се даде и на шестокласник, но там вече се изисква талант. Ето с такива задачи руснаците стават първи на МОМ. Като гледам резултатите на Пролетните математически състезания и доста трудните трета и четвърта задачи, изпадам в недоумение как тези наши деца ги решават без проблеми? И то не по един двама, а по четирима с пълен брой точки, още двама трима с по 25, още пет шест по 24, пак толкова с 22-23 и т.н. Каква е тази подготовка, какво е туй нещо?! И после на международната се дънят половината отбор. Ако нивото от 8-ми клас е толкова високо наистина, то би трябвало за международната да имаме три отбора, които биха влезли в първата десятка. Има нещо гнило в Дания! Или преписването е преминало на ново ниво?!?!?

[ptj]

Не се обиждай - бяха останали само 2 нерешени ако не се лъжа.
Колкото до задачата с вълшебниците- мисля, че е доста стара...

[inveidar]

Има доста подобни задачи, но тази е оригинална. Руснаците не пишат като при нас кой е предложил задачата. Щом има име, това е авторът - И. В. Митрофанов.

[drago]

... Ето с такива задачи руснаците стават първи на МОМ...

Кога? Като гледам официалния сайт на IMO, първи са били 2007 и 1999. Последните години са четвърти.
П.П. И тези задачи нямат много общо с МОМ. И като трудност и като стил. Не че не харесвам руските задачи, има много добрим с особен стил, и доста нестандартни.

[inveidar]

... Ето с такива задачи руснаците стават първи на МОМ...

Кога? Като гледам официалния сайт на IMO, първи са били 2007 и 1999. Последните години са четвърти.
П.П. И тези задачи нямат много общо с МОМ. И като трудност и като стил. Не че не харесвам руските задачи, има много добрим с особен стил, и доста нестандартни.

Говоря за златни медали, Драго. Почти винаги са с шест. И явно задачите имат доста общо с МОМ след като децата печелят златните медали. Така се започва. Я по-добре кажи нещо за страхотното ниво на нашите осмокласници?

[drago]

Много добре знаеш, че златните медали не са първите места, а златен медал се дава на всеки над определен брой точки, за всяка година различно, но някъде около 30т. Така че броят на зл. медали не е такъв критерий. За страните, които са на първите челни места, обикновено всичко учстници са със златен медал.
Относно пролетните състезания, аз не ги следя тези работи, освен, ако не ги видя някъде. Тука не съм, прати някакъв линк, за да кометираме.

[inveidar]

Драго, не че съм фен на руснаците. Просто правя сравнение между нашите задачи и техните задачи, както и между нашето представяне на МОМ и тяхното. Съзирам голямо несъответствие. Мога да продължа и по-нататък. Да направим сравнение между нашите учени математици и техните. Кой е взел повече награди, кой е решил повече проблеми и т.н.
Ето ти и линк към най-трудното състезание по математика - http://rmms.lbi.ro/rmm2015/index.php?id=results_math. Пак ще повторя - не съм русофил, а обратното. Просто не ми се получават съответствията.

[math10.com]

По повод въпроса за нашите 8-мо класници ще цитирам Ирина Шаркова(учител в СМГ и един от водещите подготовката на националите)
"От както въведоха тестовата система на изпитване , децата вече не мислят , а само ограждат отговори"

Изводите за моментното ниво на българското образование ще оставя да си ги направите сами...

[drago]

@инвейдър: От една обикновена поправка стигнахме до "русофили" и "русофоби"! Просто коригирах една фактическа грешка, нищо повече. Иначе, спор няма, руснаците имат големи постижения в математиката, трябва да си сляп, за да го оспорваш.
Относно ПМС 2015. Да, видях какво имаш предвид. И какво е обяснението? Преписване! Или някаква вътрешна информация? Но между първите има от различни училища ?!!

@мат10: И сега какво, тестовете ли са първопричината!? Едва ли. Според мен това е нещо съвсем не по темата.
А ти схвана ли поста на Инвейдър? Там въпросът е съвсем друг. На ПМС 2015, 8 клас има 10 човека с почти макс. брой точки.

[math10.com]

Да Драго.Много добре схванах поста на @inveidar.И това което съм написал си е точно по темата.Нашите деца ги подготвят с типови задачи , на които просто рутинно да стигнем до отговора.Децата отдавна са отвикнали да мислят и ако не се падне подобен тип задача те блокират.За наше огромно съжаление задачите на МОМ не се предлагат от СМБ и учителите подготвящи отбора не могат да уцелят типовете.Поради това отбор ни се излага и то много често на лесни задачи.

[inveidar]

@инвейдър: От една обикновена поправка стигнахме до "русофили" и "русофоби"! Просто коригирах една фактическа грешка, нищо повече. Иначе, спор няма, руснаците имат големи постижения в математиката, трябва да си сляп, за да го оспорваш.
Относно ПМС 2015. Да, видях какво имаш предвид. И какво е обяснението? Преписване! Или някаква вътрешна информация? Но между първите има от различни училища ?!!

Що, какво лошо има да стигнем до русофили и русофоби?! Аз определено съм русофоб и не се чувствам виновен затова. Да има от СМГ, Американски колеж, ПЧМГ и един за цвят от Бургас. А след това шест човека с по 20 точки от СМГ? Драго, трудните решения ги виждаш, а тук не можеш да зацепиш?! Айде стига.