Врани и наредена (n + 2) - торка.

[ABK]

Моля за помощ за решението на следните задачи:


1. Във всеки връх на правилен n-ъгълник е кацнала по една врана. Всички врани отлитат едновременно и след известно време всички едновременно се връщат, по една врана във всеки връх, но не непременно в същите върхове както преди. За кои n винаги може да намерим три врани, така че триъгълникът формиран от началните им позиции да бъде от същия тип (остроъгълен, правоъгълен, тъпоъгълен) като триъгълника формиран от крайните им позиции?



2. Дадена е наредена (n + 2) – торка от естествени числа (а0, а1, а2, . . . , an, an+1), която изпълнява следните условия:
(1) a0 = an+1 = 1;
(2) ai > 1, за всяко i = 1, 2, . . . , n;
(3) ai│(ai–1 + ai+1), за всяко i = 1, 2, . . . , n.
Да се докаже, че поне едно от числата от тази (n + 2) – торка е равно на 2.

[ptj]

Така е по-разбираемо.
2. Дадена е наредена [tex](n + 2) –[/tex]торка от естествени числа [tex](а_0, а_1, а_2, ... , a_n, a_{n+1})[/tex], която изпълнява следните условия:
(1) [tex]a_0 = a_{n+1} = 1[/tex] ;
(2) [tex]a_i > 1 : i = 1, 2, . . . , n[/tex] ;
(3) [tex]a_i/(a_{i–1} + a_{i+1}) : i = 1, 2, . . . , n[/tex] .
Да се докаже, че поне едно от числата от тази [tex](n + 2) –[/tex]торка е равно на 2.

[pal702004]

По втората задача:

Нека [tex]a_k[/tex] е член на редицата, за който е изпълнено:

[tex]\begin{cases} a_{k-1}<a_k \\ a_{k+1} \le a_k \end{cases}[/tex]

Такъв задължително трябва да има, защото редицата започва и завършва с 1.

[tex]a_{k-1}+a_{k+1}<2a_k[/tex]. Следователно, за да е изпълнено условието [tex]a_k\mid (a_{k-1}+a_{k+1})[/tex] е необходимо

[tex]a_{k-1}+a_{k+1}=a_k[/tex]. Но тогава можем да премахнем [tex]a_k[/tex] от редицата.

[tex]a_{k-2},a_{k-1},(a_{k-1}+a_{k+1}),a_{k+1},a_{k+2}[/tex]

[tex]a_{k-1}\mid a_{k-2}+a_{k-1}+a_{k+1}\;\Rightarrow a_{k-1} \mid a_{k-2}+a_{k+1}[/tex]

Аналогично

[tex]a_{k+1}\mid a_{k+2}+a_{k-1}+a_{k+1}\;\Rightarrow a_{k+1} \mid a_{k+2}+a_{k-1}[/tex]

По такъв начин можем да получим редица, отговаряща на условията, но с един елемент по-малко. И т.н докато стогнем до 3 елемента [tex]1,x,1[/tex] И средният трябва да е 2.

[pal702004]

Казано накратко. Нека [tex]а_к[/tex] най-големият елемент в редицата. Доказваме, че можем да го премахнем без да нарушим условията.

[drago]

1 ва зад.(за враните )
За малко по-големички n е вярно. Идеята е че броят на тъпоъгълните триъг. са повече от остроъгълните и правоъгълните и няма как някой тъпоъгълен да не отиде пак в тъпоъгълен. Вместо да ги смяташ моге и така:
Фиксирай две врани [tex]A, B[/tex] , които са кацнали една до друга и нека след преместването да отиват в позиции [tex]A' B'[/tex] .
Разгледай триъгълниците [tex]ABX[/tex], където [tex]X[/tex] пробягва всички останали врани. Всички те са тъпоъгълни триъгълници с изключение на два правоъгълни, когато n е четно и един остроъгълен в случая, когато n е нечетно. Разгледай сега триъгълниците [tex]A'B'X'[/tex] . Първо [tex]A' , B'[/tex] не могат да са противоположни, защото всички [tex]A'B'X'[/tex] ще са правоъгълни и тогава някой правоъгълен ще отива в правоъгълен. Каквито и да са [tex]A', B'[/tex] броят на остроъгълните+ правоъгълни [tex]A'B'X'[/tex] не може да е твърде голям за да покрие всички тъпоъгълни [tex]ABX[/tex].

[ABK]

Благодаря!