Равнобедрен трапец

[inveidar]

Да се докаже с материал за 7-ми клас следната задача:

В трапец [tex]ABCD[/tex] с основи [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] [tex]\angle ACB=\angle ADB[/tex]. Докажете, че трапецът е равнобедрен.

[inveidar]

Никой ли не може да я реши с материал за 7-ми клас?!

[monika_at]

Аз, или поне така си мисля

[inveidar]

Ми давай тогава. То явно, че седмокласниците не могат, или не влизат във форума!

[ptj]

Не виждам как ще се изхитрите да представите решение без окръжност.

[inveidar]

Не виждам как ще се изхитрите да представите решение без окръжност.

Не ти е за сефте да не виждаш нещо.

[ptj]

На практика трябва да докажете, че са само две точките от успоредна права на отсечка, от които отсечката се вижда под даден ъгъл.

Чакам решението ви.

[inveidar]

mmm.png (22.98 KiB) Прегледано 2819 пъти

Ако [tex]OC[/tex] и [tex]OD[/tex] са равни, то триъгълниците [tex]BOC[/tex] и [tex]AOD[/tex] са еднакви по страна и два ъгъла и трапецът е равнобедрен. Да допуснем, че [tex]OD>OC[/tex]. Тогава съществува точка [tex]D_1\in OD,OD_1=OC[/tex]. Построяваме [tex]D_1A_1||AD, A_1\in AO[/tex]. Сега триъгълниците [tex]BOC[/tex] и [tex]A_1OD_1[/tex] са еднакви по страна и два ъгъла, откъдето получаваме [tex]A_1O=BO[/tex], т.е. триъгълниците [tex]A_1BO[/tex] и [tex]COD_1[/tex] са равнобедрени с един и същи ъгъл между бедрата. Лесно следва, че [tex]\angle BA_1O=\angle OCD_1=\frac{180^0-\angle A_1OB}{2}[/tex], т.е. четириъгълникът [tex]A_1BCD_1[/tex] е трапец. От последното получаваме, че [tex]\angle A_1BC+\angle D_1CB=180^0[/tex], което е невъзможно, защото и двата са по-малки съответно от ъглите [tex]ABC[/tex] и [tex]DCB[/tex], сборът на които също е [tex]180^0[/tex]. Противоречие. До същото достигаме и ако допуснем, че [tex]OD<OC[/tex]. С това задачата е решена.

[ptj]

Приема се.

[monika_at]

Аз лично доказах, че ако два триъгълника имат съответно равни ъгли и равни лица, са еднакви. Съжалявам, но тези дни нямам време да пиша по- подробно.

[inveidar]

Аз лично доказах, че ако два триъгълника имат съответно равни ъгли и равни лица, са еднакви. Съжалявам, но тези дни нямам време да пиша по- подробно.

Би могло да се получи.

[zvenobg]

(1) [tex]\Delta[/tex] AOD подобен на [tex]\Delta[/tex] BOC : ∠ACB=∠ADB ,∠AОD=∠BOC връхни, [tex]\Rightarrow[/tex] ∠OAD=∠OBC.
(2) [tex]\Delta[/tex] AOB подобен на [tex]\Delta[/tex] DOC : ∠BAO =∠DCO ,∠ABO=∠CDO кръстни ъгли, ∠AOB=∠ DOC връхни.

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] AD/CB = OD/OC= OA/OB , OC/OA = OD/OB .
OD= (OA.OC)/OB, OD=(OB.OC)/OA ,OA.OA=OB.OB, OA=OB [tex]\Rightarrow[/tex] AD=CB

[monika_at]

Вярно решение, въпреки че е доказано с материал за 9 клас.

[zvenobg]

Построяваме [tex]\Delta[/tex] АОВ равнобедрен и [tex]\angle[/tex] ADB = [tex]\angle[/tex] ACB ( ФИГ. 1)
[tex]\angle[/tex] AC0 = [tex]\angle[/tex] BDO , [tex]\angle[/tex] OAC = [tex]\angle[/tex] OBD.
[tex]\Delta[/tex] ACO [tex]\cong[/tex] [tex]\Delta[/tex] BDO (фиг 2) : 1) [tex]\angle[/tex] OAC = [tex]\angle[/tex] OBD. 2) [tex]\angle[/tex] AOB общ. 3) AO = OB. [tex]\Rightarrow[/tex] AC = DB и OC = OD [tex]\Rightarrow[/tex] AD = BC.
[tex]\Delta[/tex] ACB [tex]\cong[/tex] [tex]\Delta[/tex] ADB : 1) AC = DB. 2) AD = BC. 3) AB обща.
Построяваме височините DD1 и CC1 . DD1 = CC1 като височини в еднакви триъгълници ( фиг. 3).
DD1 || CC1 и DD1 = CC1 [tex]\Rightarrow[/tex] четириъгълника D1C1DC е успоредник.
[tex]\Rightarrow[/tex] DC || AB [tex]\Rightarrow[/tex] четириъгълника ABCD трапец.
AD = BC [tex]\Rightarrow[/tex] трапеца ABCD равнобедрен ([tex]\angle[/tex] ACB = [tex]\angle[/tex] ADB) .

[zvenobg]

Построяваме произволен равнобедрен [tex]\Delta[/tex] АОВ и [tex]\angle[/tex] ABD = [tex]\angle[/tex] BAC
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex] ADB = [tex]\angle[/tex] ACB( ФИГ. 1)
[tex]\angle[/tex] AC0 = [tex]\angle[/tex] BDO като съседни ъгли на [tex]\angle[/tex] ADB = [tex]\angle[/tex] ACB ,
[tex]\angle[/tex] OAC = [tex]\angle[/tex] OBD.
[tex]\Delta[/tex] ACO [tex]\cong[/tex] [tex]\Delta[/tex] BDO (фиг 2) : 1) [tex]\angle[/tex] OAC = [tex]\angle[/tex] OBD. 2) [tex]\angle[/tex] AOB общ. 3) AO = OB. [tex]\Rightarrow[/tex] AC = DB и OC = OD [tex]\Rightarrow[/tex] AD = BC.
[tex]\Delta[/tex] ACB [tex]\cong[/tex] [tex]\Delta[/tex] ADB : 1) AC = DB. 2) AD = BC. 3) AB обща.
Построяваме височините DD1 и CC1 . DD1 = CC1 като височини в еднакви триъгълници ( фиг. 3).
DD1 || CC1 и DD1 = CC1 [tex]\Rightarrow[/tex] четириъгълника D1C1DC е успоредник.
[tex]\Rightarrow[/tex] DC || AB [tex]\Rightarrow[/tex] четириъгълника ABCD трапец.
AD = BC [tex]\Rightarrow[/tex] трапеца ABCD равнобедрен ([tex]\angle[/tex] ACB = [tex]\angle[/tex] ADB) .

[zvenobg]

mmm.png

Ако [tex]OC[/tex] и [tex]OD[/tex] са равни, то триъгълниците [tex]BOC[/tex] и [tex]AOD[/tex] са еднакви по страна и два ъгъла и трапецът е равнобедрен. Да допуснем, че [tex]OD>OC[/tex]. Тогава съществува точка [tex]D_1\in OD,OD_1=OC[/tex]. Построяваме [tex]D_1A_1||AD, A_1\in AO[/tex]. Сега триъгълниците [tex]BOC[/tex] и [tex]A_1OD_1[/tex] са еднакви по страна и два ъгъла, откъдето получаваме [tex]A_1O=BO[/tex], т.е. триъгълниците [tex]A_1BO[/tex] и [tex]COD_1[/tex] са равнобедрени с един и същи ъгъл между бедрата. Лесно следва, че [tex]\angle BA_1O=\angle OCD_1=\frac{180^0-\angle A_1OB}{2}[/tex], т.е. четириъгълникът [tex]A_1BCD_1[/tex] е трапец. От последното получаваме, че [tex]\angle A_1BC+\angle D_1CB=180^0[/tex], което е невъзможно, защото и двата са по-малки съответно от ъглите [tex]ABC[/tex] и [tex]DCB[/tex], сборът на които също е [tex]180^0[/tex]. Противоречие. До същото достигаме и ако допуснем, че [tex]OD<OC[/tex]. С това задачата е решена.

[tex]\angle A_1BC+\angle D_1CB= \angle ABC+\angle DCB=180^0[/tex], [tex]D_1C[/tex] не е успоредна на [tex]DC[/tex]
[tex]\angle DCB>\angle D_1CB[/tex] но [tex]\angle A_1BC>\angle ABC[/tex]

[zvenobg]

Прикачения файл mmm.png вече е недостъпен

Ако [tex]OC[/tex] и [tex]OD[/tex] са равни, то триъгълниците [tex]BOC[/tex] и [tex]AOD[/tex] са еднакви по страна и два ъгъла и трапецът е равнобедрен. Да допуснем, че [tex]OD>OC[/tex]. Тогава съществува точка [tex]D_1\in OD,OD_1=OC[/tex]. Построяваме [tex]D_1A_1||AD, A_1\in AO[/tex]. Сега триъгълниците [tex]BOC[/tex] и [tex]A_1OD_1[/tex] са еднакви по страна и два ъгъла, откъдето получаваме [tex]A_1O=BO[/tex], т.е. триъгълниците [tex]A_1BO[/tex] и [tex]COD_1[/tex] са равнобедрени с един и същи ъгъл между бедрата. Лесно следва, че [tex]\angle BA_1O=\angle OCD_1=\frac{180^0-\angle A_1OB}{2}[/tex], т.е. четириъгълникът [tex]A_1BCD_1[/tex] е трапец. От последното получаваме, че [tex]\angle A_1BC+\angle D_1CB=180^0[/tex], което е невъзможно, защото и двата са по-малки съответно от ъглите [tex]ABC[/tex] и [tex]DCB[/tex], сборът на които също е [tex]180^0[/tex]. Противоречие. До същото достигаме и ако допуснем, че [tex]OD<OC[/tex]. С това задачата е решена.

[tex]\angle A_1BC+\angle D_1CB= \angle ABC+\angle DCB=180^0[/tex], [tex]D_1C[/tex] не е успоредна на [tex]DC[/tex]
[tex]\angle DCB>\angle D_1CB[/tex] но [tex]\angle A_1BC>\angle ABC[/tex] и BC общо рамо на [tex]\angle A_1BC и \angle ABC \Rightarrow[/tex]
другото рамо пресича правата успоредна на AD през [tex]D_{1 }[/tex] в точка [tex]А_{2}[/tex]

[inveidar]

Глупости на търкалета бих казал аз!

[zvenobg]

Глупости на търкалета бих казал аз!

Докажи ГО "математик"

[zvenobg]

Глупости на търкалета бих казал аз!

Противоречието , е че [tex]A_{2 }B||D_{1 }C[/tex] и [tex]A_{1 }B ||D_{1 }C[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]A_{2 }B||A_{1 }B[/tex], което е
невъзможно, защото [tex]A_{2 }B и A_{1 }B[/tex] се пресичат точка B.