ОЛИМПИАДА НА САЙТА (6-7 клас)

[allier]

1. Да се намери най-малкото естествено число n, за което е изпълнено следното свойство - от всеки n естествени числа могат да се изберат 5 със сума, която се дели на 5.

2. Върху страните AC и BC на триъгълник ABC с лице 1 са избрани точки F и E, за които AF=FC и CE=2.BE . Правата FE пресича продължението на страната AB в точка D. Да се намери лицето на триъгълник CED.

3. Даден е произволен изпъкнал 2010-ъгълник. Винаги ли е възможно този многоъгълник да се разреже на:
а) равнобедрени триъгълници
б) квадрати

4. В една държава има монети от 1, 5, 10 и 25 стотинки. Джон забелязал, че има точно 50 монети на обща стойност 1 лев. Колко най-малко и колко най-много монети от 1 стотинка има Джон?

5. Колко най-много различни числа между 1 и 100 могат да се изберат, така че произведението на всеки две избрани числа:
а) се дели на 3
б) е точен квадрат

6. На колко най-много части може да се разбие равнината от контурите на квадрат, кръг и равностранен триъгълник?

[allier]

В тази тема пишете само въпроси по условията на задачите. Срокът за решаване е 1 седмица, до петък 30 април, 20:00. Решенията изпращайте на allier като лично съобщение.

[allier]

Първият кръг на олимпиадата на сайта за 6-7 клас ще приключи утре (петък) в 20:00. Изпращайте решенията си като лично съобщение на allier. Резултатите и решенията на задачите ще бъдат обявени в неделя, а вторият кръг на олимпиадата ще започне следващата седмица.

[amsara]

понахвърлила съм това-онова,не е много обаче.
Ама утре след даскало искам да измъдря евентуално още нещо и тогава ще пусна направеното на лични, преди 8часа ще е .

[allier]

Приключи първият кръг на олимпиадата на сайта за 6-7 клас. Като допълнителна задача, мога да предложа на участниците да познаят колко човека предадоха решения на задачите:

Отговорът изпълнява следните условия:
1) Дели се на 2;
2) Просто число е;
3) Равен е на най-малкото просто число;
4) Не се дели на 5.

Поради огромния интерес, класирането ще излезе съвсем скоро заедно с упътвания към задачите.

[amsara]

Значи - аз и още някой, тоест двама А като имам предвид, че аз две-три от задачите въобще не съм ги пипнала..
ще разчитам на точки за допълнителната. Майтапя се естествено.

[allier]

1) Отговорът е 9. При 8, пример е например 20,15,10,5,1,6,11,16, или която и да е редица с остатъци 0,0,0,0,1,1,1,1 при деление на 5. Доказателството за 9 се прави като се преброят групите от 4 събираеми (остава като задача във форума някой да напише пълно решение)

2) Моля, 1089 да напише своето решение, което е вярно и добре написано.

3) а) Разбийте на триъгълници по произволен начин. Всеки триъгълник има поне една височина, която е вътрешна. По този начин, получаваме правоъгълни триъгълници, а всеки правоъгълен триъгълник може да се разбие на два равнобедрени с помощта на медианата си.

б) Ако има поне един остър ъгъл, няма как да станат само квадрати.

4) 40 и 45 съответно. Само два начина съществуват за 50-те монети.

5) а) Всички, кратни на 3, и едно, което не е.
б) Точните квадрати

6) Тук също може да се ползва решението на 1089.


Браво на 1089 и Amsara, които са всичките участници засега - поздравления, че сте се опитали да се преборите със задачките!

[allier]

Класирането:

1089 - 50 точки
Амсара - 15 точки
Всички останали - 0 точки


Честито на двамата победители, на останалите - късмет!

[amsara]

allier,
от дадените насоки разбрах грешката си в първата задача.Но нещо не ми е ясна четвърта.Най-големият възможен брой монети от 1 ст са 45, това го получих още преди.Ома най-малкият защо е 40 Явно нещо пропускам.Ако монетите от 1 стотинка са 40, то тогава останалите монети са 10 на брой.Тяхната обща стойност трябва да е 100-40=60ст
Тоест с 10 на брой монети от по 5,10 и 25 стотинки ттрябва да направим точно 60 ст.Аз поне както разбирам условието, трябва да има включена поне по една монета от всеки вид или не е така.Ако е така 60-25=35ст
Е как докарваш 35 стотинки от 9 монети със стойност 5 и 10 ст.Те дори и да са само по 5, пак ще стигнем до надвишаване на левчето с 9 такова монетки, какво остава за включването и на монетка от 10....Явно някъде бъркам, но не разбирам къде.За мен вариантът е само 1, този от 45 монети х 1 стотинка.Би ли обяснил логиката.

[allier]

Не е задължително да има поне една от всеки вид.

[amsara]

Е, така може, погрешно съм разбрала условието и заради това максималният и минималният вариант от 45 монети ми съвпадат. Благодаря за пояснението.

[allier]

ВТОРИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА НА САЙТА - 6/7 КЛАС
кръгът завършва в неделя, 9 МАЙ, в 20:00

1. Ако 34! = 295232799??96041408476186096435??000000, да се намерят четирите цифри, стоящи зад въпросителните знаци. (34!=1.2.3.....33.34)

2. Съществува ли триъгълник с поне две страни по-малки от 10 и лице:
а) по-голямо от 49;
б) по-голямо от 2010;

3. Възможно ли е точен квадрат да завършва на:
а) 2010?, където ? е произволна цифра;
б) на които и да е три еднакви цифри, различни от 0-ла;

4. Куб с размери 2010/2010/2010 (съставен от малки кубчета с размери 1/1/1) е потопен в червена боя. Колко малки кубчета нямат точно две червени стени?

5. Възможно ли е числата от:
а) 1 до 2010
б) 1 до 2011
да се разбият на две групи, така че сумите на числата в двете групи са равни?

6. Да се намери броя на начините да се разположат 5 топа върху шахматна дъска 5 на 5, така че никой от тях да не бие друг от топовете (един топ бие друг, ако са разположени в един и същи ред, или в един и същи стълб).

[allier]

Оказва се, че задача 1 е била публикувана на сайта. Затова задачата се променя:

1. За Великден Петко боядисал 100 яйца в червен, зелен, жълт, лилав, кафяв, и оранжев цвят, като червените яйца за повече от зелените, жълтите са толкова, колкото и лилавите, а кафявите не са колкото оранжевите. Каква е най-голямата възможна стойност на произведението на броя на червените, зелените, жълтите, кафявите и оранжевите яйца?

[allier]

Остават два дни до крайния срок за предаване на задачите ... всеки, който иска да участва, да прати решенията си като лично съобщение на allier.

[allier]

Остават 10 минути до края на кръга Броят на участниците отново е минимален, а това бяха най-лесните задачи, които могат да се паднат на каквато и да е олимпиада за 6-7 клас. Така че, браво на тези, които са участвали, а другите да се засрамят.

[allier]

ТРЕТИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА НА САЙТА ЗА 6-7 КЛАС

1. Таблица 100 по 100 е разделена на 10000 единични квадратчета. Поставени са 99 квадрата със страни 1,2,3, ..., 99, така че всеки от тях се състои само от цели малки квадратчета. Да се докаже, че съществува малко квадратче 1 на 1, което влиза в поне 50 от тези 99 квадрата.

2. Колко най-много четирицифрени числа могат да се напишат с помощта на цифрите 1,2,3, така че всеки две от тях се различават на поне три позиции едно от друго?

3. Иван има за домашно да пресметне сборовете, произведенията, и абсолютните стойности на разликите на всеки две от дадени 100 цели числа.
а) Колко най-малко аритметични операции (събиране, изваждане, умножение, деление) трябва да извърши Иван (например, 1+2 е една операция, докато 2+3.5 се брои за две)?
б) Какъв е най-големият възможен брой различни нечетни числа, които Иван може да получи?

4. Петко се подготвял за математическа олимпиада като всеки ден решавал не повече от 10 задачи. Освен това, за да не се преумори, ако в определен ден е решил 8 или повече, в следващите два дни той не е решил по повече от 5 задачи на ден. Колко най-много задачи може да реши Петко за 25-те дена оставащи до олимпиадата?

5. а) Съществуват ли 2010 цели числа (поне две от които са различни), и които могат да се разположат в кръг, така че сумата на всеки 29 последователни числа е една и съща?
б) Същият въпрос, ако числата са разположени в редица.

6. Да се намерят всички естествени числа n, които се делят на поне n-3 различни по-малки естествени числа.

[allier]

Резултати от 2ри кръг:

1089 - 60 точки
Amsara - 20 точки

Общ резултат 1/2 кръг:
1089 - 110 точки
Amsara - 35 точки

[allier]

Ето и кратки отговори и упътвания за задачите от втори кръг:

1. За да е максимално произведението, трябва числата да са възможно най-близки едно до друго. Остава да се изпълнят неравенствата от условието.

2. а) Да. Например правоъгълен триъгълник със страни 9,9999 и 9,9999.
б) Не. Лицето е по-малко от 10.10/2=50.

3. а) Да, възможно е. Числото трябва да се търси от вида 10.(10к+9).
б) Да, възможно е. Квадрат може да завършва например на 444.

4. Това са всички кубчета освен тези по ръбовете (без върховете).

5. а) Сумата е нечетна т.е. НЕ
б) Сумата е четна. Пример: първите к-1 ест. числа, където сумата 1+2+3+...+к не надвишава половината на 1+2+..+2010 и още две по-големи с необходимия сбор.

6. Единственото условие е никои два топа да не са в един и същи ред или в една и съща колона. Както и да се постави топ, винаги има точно определен брой места, на които да се постави втори топ и т.н. - без значение от конкретния избор. За последния топ ще остане точно едно място на което може да бъде поставен. Оттук, просто трябва да се умножат броевете на местата, за да се получи отговорът.

[amsara]

allier,
Нещо не ми е ясно ..
Аз участвах във втория кръг като изпратих решения на едва 3 от задачите, нямах време за повече.Явно за грешна си зачел тази, която копирам по-долу.
Възможно ли е точен квадрат да завършва на:
а) 2010?, където ? е произволна цифра;
Най-прости сметки показват, че нито е дно от числата 20100,20101, 20102, 20103, 20104,20105,20106,20107,20108,20109 не е точен квадрат, а де факто в математиката при десетичната позиционна бройна система цифрите са само 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9 .Може би е трябвало да бъде написана думата число на мястото на въпросителния или нещо не разбирам..Какво имам предвид..Еoно число като 2010724 например e точен квадрат, но на мястото на въпросителния знак стои числото 724, а не цифра..къде бъркам?

[1089]

[quote="allier"]ВТОРИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА НА САЙТА - 6/7 КЛАС
3. Възможно ли е точен квадрат да завършва на:
а) 2010?, където ? е произволна цифра;[quote]
Kakwo zna4i da zawar6wa?

[allier]

Амсара, да завършва означава последните му цифри да са тези. Т.е. 12339835973497234975349 завършва на 49. Първата стъпка в задачата е да се прецени, че ? (което е цифра) е равна на 0-ла. Иначе, ще ти пратя лично съобщение да ти кажа за твоите решения и откъде ти липсват точки.

[amsara]

Амсара, да завършва означава последните му цифри да са тези. Т.е. 12339835973497234975349 завършва на 49. Първата стъпка в задачата е да се прецени, че ? (което е цифра) е равна на 0-ла. Иначе, ще ти пратя лично съобщение да ти кажа за твоите решения и откъде ти липсват точки.

въобще не става дума за точките, а за желанието ми да си изясня самото условие.. Показаното от теб число завършва на 49, а 49 не е цифра..Май хич не обяснявам ясно това, което не разбирам. Като си дефинирал, че на мястото на въпросителния стои цифра, не следва ли че тази цифра се свежда до един единствен знак от 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и9..тоест, че автоматично числото е петцифрено и последната му цифра е една от горепосочените.В противен случай след наборът от цифри 2010 вече не стои цифра, а поредица от такива..Нужно ми е обяснението, ако може, а не разбивка на точките.
Благодаря предварително.

[allier]

Е обяснение де - на кои последни две цифри завършва 12903912041 - на 41 или на 12? Ако едно число завършва на 12009?, това означава че последните му 6 цифри са 1,2,0,0,9, и още една неизвестна. Ти си го възприела, че започва с 12009 ...

[amsara]

Е обяснение де - на кои последни две цифри завършва 12903912041? Ако едно число завършва на 12009?, това означава че последните му 6 цифри са 1,2,0,0,9, и още една неизвестна. Ти си го възприела, че започва с 12009 ...

Сега ми стана съвсем ясно, благодаря ти. Очевидно съвсем погрешно съм разбрала условието.

[allier]

Днес в 20:00 ще приключи третият кръг на олимпиадата на сайта. Има предадени решения само от един участник, така че ако някои е решавал задачите, да ги прати.