Неравенство

[inveidar]

Докажете неравенството
[tex]\frac{1}{5}+\frac{2}{65}+ ...+\frac{n}{4n^4+1}[/tex]<[tex]\frac{1}{4}[/tex].
Задачата е румънска. Автор: Дан Ситару

[Knowledge Greedy]

Записваме лявата страна така [tex]L=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{4k^4+1}[/tex]

Като разложим знаменателя на [tex]4k^4+1, \,\ \forall k\in \mathbb{N}[/tex], лявата страна добива вида

[tex]L=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)}[/tex] и след като представим всяка дроб като разлика на дроби, [tex]L[/tex] e вече вида
[tex]\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(2k^2-2k+1)(2k^2+2k+1)} = \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{1}{2k^2-2k+1}-\frac{1}{2k^2+2k+1} \right )[/tex]

[tex]L= \frac{1}{4} \left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k^2-2k+1} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k^2+2k+1} \right )[/tex]
Като вземем предвид, че

Прехлъзване на индекси.PNG (2.18 KiB) Прегледано 478 пъти

което е съвсем естествено, защото [tex]2k^2+2k+1=2(k+1)^2-2(k+1)+1=2K^2-2K+1[/tex]
[tex]L= \frac{1}{4} \left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k^2-2k+1} -\sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{2k^2-2k+1} \right )= \frac{1}{4}\left (1-\frac{1}{2(n+1)^2-2(n+1)+1} \right )[/tex]
Окончателно [tex]L=\frac{1}{4}-\frac{1}{4(2n^2+2n+1)}<\frac{1}{4}[/tex]

[inveidar]

Трябваше да я решиш с индукция. А и можеше да изчакаш малко да я реши някой ученик. Но то, като се замисля, някой друг професионалист щеше да те изпревари.

[Knowledge Greedy]

Но аз с индукция съм я решил Безкрайните суми или сумите с много събираеми - записвани с многоточие и изискващи рекурентно описание, на практика са индуктивни задачи
Базата ми е описана малко цветно и непълно, в първата колонка на табличката

[inveidar]

[tex]2k^2+2k+1=2(k+1)^2-2(k+1)+1[/tex]
[tex]L= \frac{1}{4} \left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k^2-2k+1} -\sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{2k^2-2k+1} \right )= \frac{1}{4}\left (1-\frac{1}{2(n+1)^2-2(n+1)+1} \right )[/tex]
Окончателно [tex]L=\frac{1}{4}-\frac{1}{4(2n^2+2n+1)}<\frac{1}{4}[/tex]

Е, къде е тук индукцията? От първата сума остава първото събираема, а от втората - последното.

[Knowledge Greedy]

Индукционният преход е описан точно под заглавието на таблицата - "Подхлъзване на индекси". Е, не е описано по каноните, но ние си го разбираме. Важно е по принцип: има ли многоточие - има индукция (и обратно! )

[inveidar]

Щом казваш няма да спорим.