Триъгълник и успоредник

[ptj]

Да се докаже, че лицето на всеки вътрешен за триъгълник успоредник (няма контурни точки вън от контура на триъгълника), не превишава половината от лицето на триъгълника.

[ptj]

Няма ли идеи?

[drago]

Да предположим, че триъгълника е фиксиран. Можем да увеличим успоредника и да предполагаме, че три от върховете му лежат в/у страните на триъг.
Вземаме 2 върха на успоредника, които лежат на стран. на триъг. и от върха на триъгълника, който е обща точка на тези 2 страни, построяваме права успоредна на страна на успоредника. Тази права разделя триъгълника на 2 триъгълника, във всеки от който има вписан успоредник, но вече този успоредник има обша страна с триъгълника. Ако успеем да докажем нещата за тези два триъгълника и съответните успоредници, то всичко ще е ОК.
По подобен начим разделяме всеки от тези 2 триъгълника по на още два, като вече успоредниците вписани в тях имат 2 обши страни с тях, единия връх на успоредника съвпада с връх на тр., а срещуположния е в/у страна на триъгълника. За такава конфигурация нещата са прости.

Коментар. Това с разделянето на триъгълника на две части не е моя идея, някъде съм я виждал.

[ptj]

Ето едно хитро решение:

Kart.gif (16.36 KiB) Прегледано 521 пъти