Даден е квадрат ABCD. От върха А е прекарана права която

[ragou]

Здравейте,
Въртях, суках и нищо не ми дойде наум. Ето я задачата:
Даден е квадрат ABCD. От върха А е прекарана права която пресича BC в точка L. Пак от там е прекарана ъглополовящата на ъгъл LAD която пресича DC в точка P. Ако AL = 5, то колко е BL+ DP?
Отговорът е 5, но как се стига до там не знам.

[inveidar]

lllll.png (27.15 KiB) Прегледано 1556 пъти

Построяваме точка [tex]M[/tex] върху [tex]AL[/tex] такава, че [tex]LB=LM[/tex]. Продължаваме [tex]BM[/tex] до пресичането и с [tex]AD[/tex] в точка [tex]N[/tex]. Оставам на теб да съобразиш от чертежа защо [tex]AM=AN=DP[/tex] ([tex]\angle ABN= 90^0-(90^0-\alpha)[/tex]).

[Евва]

Ето още една идея :
Нека AB=a ,BL=x ,DP=y
BL+DP =x+y =?
Да построим [tex]\triangle[/tex]ALP и PH -височината в него .
[tex]\triangle[/tex]AHP[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]APD ( 2 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] AH=a и тогава HL =5-a
За три правоъгълни триъгълника съставяме система .

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 }+ a^{2 } = 25 \\ y^{2 }+ (5-a)^{2 } = PL^{2 } \\ (a-x)^{2 }+ (a-y)^{2 }= PL^{2 } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 }+ a^{2 } = 25 \\ y^{2 }+25-10a+ a^{2 } = a^{2 } -2ax+ x^{2 } + a^{2 } -2ay+ y^{2 } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } + a^{2 } = 25 \\ ( a^{2 }+ x^{2 } )+10a-25-2ax-2ay = 0 \end{array}[/tex]

25+10a-25-2a(x+y) =0 |: 2a[tex]\ne[/tex]0

BL +DP =x+y= 5