Уравннение

[monika_at]

Моля, хората, които не са в 8 клас да изчакат малко с решението. Пускам тази задача за определени хора, които са в 8 и 9 клас. Благодаря.

Да се докаже, че уравнението [tex](a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0[/tex] нямa реални корени, ако параметрите а,b и с не са равни помежду си.

[Davids]

Аз съм в девети, може ли или да изчакам?

[monika_at]

Давай

[Davids]

Имаме следния квадратен тричлен: [tex](a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0[/tex]
Дискриминантата е равна на: [tex]D = 4(a+b+c)^2 - 12(a^2 + b^2 + c^2)[/tex]
За да е изпълненое условието, трябва да докажем, че за всеки различни a, b и c, тази дискриминанта е по-малка от нула. Тоест:
[tex]4(a+b+c)^2 - 12(a^2 + b^2 + c^2) < 0[/tex], за [tex]a\ne b\ne c[/tex]
Започваме преобразуванията:
[tex]12(a^2 + b^2 + c^2) > 4(a^2 + b^2 + c^2) + 8(ab + ac + bc)[/tex]
[tex]8(a^2 + b^2 + c^2) > 8(ab + ac + bc) |:8[/tex]
[tex]a^2 + b^2 + c^2 > ab + ac + bc[/tex] //Пренасяме дясната в лявата страна
[tex]a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc > 0[/tex]
Полученият израз се доказва лесно като просто умножим по две и групираме във формули за разлика на квадрат (ще го разпиша подробно):
[tex]2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) > 0[/tex]
[tex]a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ac + a^2 > 0[/tex]
[tex](a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0[/tex]
С което условието е доказано. Сега остана само да разгледаме случая, в който коефициентите са равни помежду си. Но тогава лесно се вижда, че сбор от три нули е равен на нула, следователно квадратния тричлен ще има един двоен корен

[monika_at]

Браво!