3 задачи

[Neko- chan]

Здравейте,
Може ли някой да ми помогне с решението на тези задачи. Казаха ни ги в клас, но нищо не ми хрумва по тях.
1. Да се докаже, че [tex]\frac{9}{10} \le \frac{a}{1+bc} +\frac{b}{1+ac} + \frac{c}{1+ab}<1[/tex]. a,b и c са положителни и сборът им е 1.
2. Да се реши в цели числа [tex]x^{3} + 10x -1= y^{3} + 6y^{2}[/tex]
3. Да се намери броя на целочислените стойности на a, за които [tex]x^{4} +2x^{3} + (a^{2} -a -9)x^{2} -4x +4= 0[/tex] има поне един реален корен.

[Knowledge Greedy]

Задача 3. Отговор: броят на целите стойности на параметъра [tex]a[/tex] е [tex]25[/tex].
Това са всички цели числа от интервала [tex]\left [ \frac{1-\sqrt{21+16\sqrt{2}}}{2};\frac{1+\sqrt{21+16\sqrt{2}}}{2} \right ][/tex]

[Knowledge Greedy]

Задача 2. Отговор: единственото решение в цели числа е (6;5).
Причината - лявата страна е близо до точен куб, но по-голяма от него, докато дясната страна е в близост до точен куб, само че е по-малка от него. За достатъчно големи (по модул) стойности на x и y не е възможно да се получи равенство.
Въпросните "достатъчно големи"се оказват числата след 5.

[pal702004]

Зад. 3: Представяме уравнението във вид

$(x^2+x-2)^2+(a^2-a-6)x^2=0$

откъдето се вижда, че ще има реални корени тогава и само тогава, когато $a^2-a-6\le 0$
Тогава $f(1)\le 0,f(-2)\le 0$

Отг: $a\in [-2,3]$

Зад. 2: Идеята на Knowledge Greedy с малко по-голяма строгост: Разглеждаме израза като функция от $x$

$f(x)=x^3+10x-y^3-6y^2-1$

За всяко $y$ тя е нарастваща (производната по $x$ е положителна) и следователно има единствен реален корен.

И понеже $\forall y \in \mathbb{R}$

$\begin{cases} f(y-1)<0\\f(y+7)>0 \end{cases}$

то целите решения са ограничени от $x=y$ до $x=y+6$. Седем квадратни уравнения не е голяма радост, но по-добро не мога да измисля.
И решенията са $(2,-3);\; (6,5)$

[Knowledge Greedy]

Има една приказка "Кьорав карти не играе." .
"Страховитият" интервал, който съм привел в задача 3 е в същност условието за параметъра, за съществуване на реални решения на уравнението [tex]x^4-2x^3+(a^2−a−9)x^2−4x+4=0[/tex]
Та за него се получават 25 различни стойности на параметъра [tex]a[/tex].

[Knowledge Greedy]

Основната идея, която по същество е както и на pal702004, е разделянето на променливите.
Представих [tex]x^4+2x^3+(a^2−a−9)x^2−4x+4=0[/tex] така
[tex]a^2−a−9=-\frac{x^4+2x^3−4x+4}{x^2}[/tex]
Изследвах функцията [tex]f(x)=-\frac{x^4+2x^3−4x+4}{x^2}, \,\ x\ne 0[/tex]
Локалните максимуми [tex]f_{max}(x)=f(-2)=f(1)=-3[/tex] са и абсолютни.

Параметричното уравнение с разделените 2.png (10.79 KiB) Прегледано 1090 пъти

Необходимо и достатъчно условие уравнението да има реално решение, явно е [tex]a^2−a−9\le -3[/tex]
Последното е изпълнено при [tex]a\in \left [ -2; 3 \right ][/tex]

[Neko- chan]

Благодаря!!!