Задача от делимост 1

[math10.com]

Да се докаже, че числото [tex]A=4^{2017}+2017^4[/tex] НЕ Е просто

[kmitov]

Май, че завършва на 5.

[georgi111]

[tex]4^{2017} + 2017^4 \equiv (-1)^{2017} + 2^4 \pmod 5 \equiv -1 + 16 \pmod 5 \equiv 0 \pmod 5[/tex]

[yassi]

Последната цифра на числовата редица [tex]4^{1}[/tex]...[tex]4^{2017}[/tex] образува числовата редица 4,6,4,6.....4
[tex]2017^{4}[/tex] завършва на 1, 4+1=5, дели се на 5 и е [tex]\ge[/tex] 6

Да осъвременя задачата така:
Да се докаже, че:
[tex]4^{2019}[/tex] + [tex]2017^{4}[/tex] се дели на 25.

[pal702004]

Да осъвременя задачата така:
Да се докаже, че:
[tex]4^{2019}[/tex] + [tex]2017^{4}[/tex] се дели на 25.

$\varphi(25)=20\Rightarrow 2^{20}\equiv 1 \pmod{25}\Rightarrow 4^{10}\equiv 1 \pmod{25}$

$4x \equiv 1 \pmod {25} \Rightarrow 4^{2019}\equiv 19 \pmod {25}$

$17^4\equiv 21\pmod{25}$

$(4^{2019}+2017^4)\equiv 15\pmod{25}$

Цък. Не се дели.

[yassi]

Да осъвременя задачата така:
Да се докаже, че:
[tex]4^{2019}[/tex] + [tex]2017^{4}[/tex] се дели на 25.

$\varphi(25)=20\Rightarrow 2^{20}\equiv 1 \pmod{25}\Rightarrow 4^{10}\equiv 1 \pmod{25}$

$4x \equiv 1 \pmod {25} \Rightarrow 4^{2019}\equiv 19 \pmod {25}$

$17^4\equiv 21\pmod{25}$

$(4^{2019}+2017^4)\equiv 15\pmod{25}$

Цък. Не се дели.

Прав си, сбърках. Ще я поправя.

[yassi]

[tex]4^{2019}[/tex] + [tex]2017^{16}[/tex] се дели на 25

[pal702004]

$4^{2019}\equiv 19 \pmod {25}$

$17^4\equiv 21\pmod{25}$

$(-4)^4=256\equiv 6 \pmod{25}$
Така става.