Задача от делимост 2

[math10.com]

Дадено е числото [tex]A=2^{332}[/tex] в десетичния запис на което има 100 цифри.Да се докаже, че поне една от цифрите в десетичния запис на [tex]A[/tex] се среща поне 11 пъти.

[pal702004]

Числото не се дели на 9, така че не може всички цифри да се срещат точно по 10 пъти.

[Vurbaninator]

Допускаме, че няма поне 11 еднакви цифри. Нека всяка цифра от 0 до 9 се среща по 10 пъти, т.е. имаме 10 нули, 10 единици, 10 двойки, 10 тройки, 10 четворки, 10 петици, 10 шестици, 10 седмици, 10 осмици и 10 деветки. Общо имаме 10.10=100 цифри, така че условието е спазено.
Забелязваме обаче, че 10.(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=450, а 450 се дели на 3 и следователно числото [tex]2^{332}[/tex] се дели на 3, което е невъзможно, следователно имаме противоречие с допускането и значи не всяка цифра се повтаря точно по 10 пъти, т.е. съществува поне една цифра, която се повтаря поне 11 пъти в десетичния запис на числото А.