Математика без граници есен 2015

[Цанкова]

Здравейте!Подготвям се за предстоящето математика без граници и в темата от 2015 година се затрудних в следните задачи:
Задача 12. Колко са петцифрените числа, които завършват на 6 и се делят на 3?
Задача 18. Намерете цялото число [tex]\alpha[/tex] , ако /на картинката/
Задача 19. Точката D e от медианата СМ на триъгълник АВС, такава че СD=DM. Ако
точката Е е пресечна точка на правата АD и страна ВС намерете СЕ:СВ.

[miroslav40_98]

задача 18:
[tex]\sqrt{29-12\sqrt{5}}[/tex] = а[tex]\sqrt{5}[/tex] - 3
[tex]\sqrt{20-2.3.2\sqrt{5}+9}[/tex] = а[tex]\sqrt{5}[/tex] - 3
[tex]\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-2.3.2\sqrt{5}+3^{2}}[/tex] = а[tex]\sqrt{5}[/tex] - 3
[tex]\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^{2}}[/tex] = а[tex]\sqrt{5}[/tex] - 3
2[tex]\sqrt{5}[/tex] - 3 = а[tex]\sqrt{5}[/tex] - 3
а = 2

[Hephaestus]

Задача 12. Колко са петцифрените числа, които завършват на 6 и се делят на 3?
Решение: Едно число се дели на 3, когато сумата от цифрите му се дели на 3. Тъй като последната цифра е 6, а 6 се дели на 3, условието на задачата е еквивалентно на условието: Колко от четирицифрените числа се делят на три? Това са [tex]1002,1005,1008,...[/tex] и така през 3. Броят на всички четирицифрени числа [tex]9999-999 = 9000[/tex], следователно тези, които се делят на 3, са [tex]9000:3 = 3000[/tex] на брой. Окончателният отговор е [tex]3000[/tex].

[miroslav40_98]

задача 19.
Отношението на СЕ:СВ е равно на отношението между лицата на триъгълниците [tex]\Delta[/tex]АЕС и [tex]\Delta[/tex]АВС.
Означаваме лицето на [tex]\Delta[/tex]АВС с S, тогава [tex]S_{AMC}[/tex]=[tex]S_{ВMC}[/tex]=1/2 S и [tex]S_{ADC}[/tex]=[tex]S_{AMD}[/tex]=1/4 S . Построяваме отсечката EM [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{DEC}[/tex]=[tex]S_{DEM}[/tex]
Намираме, че лицето на [tex]\Delta[/tex]МВЕ е равно от една страна на [tex]S_{МВЕ}[/tex]=1/2 S - 2[tex]S_{DEC}[/tex], а от друга [tex]S_{МВЕ}[/tex]=1/4 S + [tex]S_{DEC}[/tex].От тук намираме, че [tex]S_{МВЕ}[/tex]=1/3 S и [tex]S_{DEC}[/tex]=1/12 S.
СЕ:СВ=tex]S_{AEC}[/tex]:[tex]S_{ABC}[/tex]=(1/4 + 1/12):1 [tex]\Rightarrow[/tex] СЕ:СВ=1:3


attachment=0]Заснемане.GIF[/attachment]