Математика без граници есен 2014

[Цанкова]

Задача 5. Триъгълник има височини 1 cm, 2 cm и х cm, за всяко число х от интервала:
A) (0, 4) B) (0, 2/3) C) (2/3, 2) D) (0, 2)
Задача 6. Нека А е естествено число, а В и С са цели числа, такива че
(х-A)(x-2)+1=(x+B)(x+C)е тъждество. Тогава А е:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
Задача 19. Нека катетите АС и ВС на правоъгълен триъгълник АВС са съответно 3 cm и 4
cm. Нека точката L e от хипотенузата АВ, а СL е ъглополовяща за триъгълника АВС. Да
се пресметне разстоянието от точката L до катета АС

[Saposto_MM]

По индукция или с рационализиране на знаменателите се доказва, че [tex]\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{n+1}[/tex]. Какво още може да стои зад това равенство.

[Добромир Глухаров]

Задача 5

S - лице на триъгълника, a,b,c - страни.

$2S=a.1=b.2=c.x\Rightarrow\begin{array}{|l}a=\frac{2S}{1}\\b=\frac{2S}{2}=S\\c=\frac{2S}{x}\end{array}$

Неравенства между страни на триъгълник (условия за съществуване):

$\begin{array}{|l}a<b+c\\b<a+c\\c<a+b\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}2S<S+\frac{2S}{x}\\S<2S+\frac{2S}{x}\\\frac{2S}{x}<2S+S\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}S<\frac{2S}{x}\\-S<\frac{2S}{x}\\3S>\frac{2S}{x}\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}x<2\\-x<2\\3x>2\end{array}\Leftrightarrow x\in\left(\frac{2}{3};2\right)$

[KOPMOPAH]

Задача 6. Нека А е естествено число, а В и С са цели числа, такива че
(х-A)(x-2)+1=(x+B)(x+C)е тъждество. Тогава А е:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

$(x-A)(x-2)+1=(x+B)(x+C) \Leftrightarrow x^2-(A+2)x+1=x^2+(B+C)x+BC \Leftrightarrow \cancel{x^2}-(A+2)x+1=\cancel{x^2}+(B+C)x+BC$ след извършване на действията се стига до $(A+B+C+2)x+2A-1+BC=0$
За да е тъждество последният израз, трябва коефициентът пред неизвестното и свободният член да са равни на нула, съставяме системата:
[tex]\begin{array}{|l} A+B+C+2 = 0 \\ 2A-1+BC = 0 \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} A+B+C+2 = 0 \\ A=\frac{1-BC}2 \end{array}[/tex]
Разглеждаме второто уравнение - за да бъде $A$ естествено число, трябва да са изпълнени две условия:
1. $B$ и $C$ да са нечетни;
2. $B$ и $C$ да са с различни знаци.
От първото уравнение следва, че $A$ е четно, т.е. отговори $A) \;1$ и $C)\;3$ отпадат. При $BC=-3$ се получава $A=2$ и първото уравнение е невъзможно. При $BC=-7$ се получава $A=4$, (съответно при $B=-7$, $C=1$ или $B=1$, $C=-7$) което е и верният отговор $D)\;4$.

[Alex98]

Задача 19. Нека катетите АС и ВС на правоъгълен триъгълник АВС са съответно 3 cm и 4
cm. Нека точката L e от хипотенузата АВ, а СL е ъглополовяща за триъгълника АВС. Да

От свойството на ъглополовящата следва [tex]AL:BL=AC:BC \Rightarrow S_{ALC}=\frac{3}{7}S_{ABC}=\frac{18}{7}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ALC}=\frac{AC.h}{2}=\frac{18}{7} \Rightarrow h=\frac{12}{7}[/tex]

Оппс Това е за 9-ти клас.Ето и за 7-ми клас.
Нека [tex]LB_1 \bot AC ; B_1\in AC ; LA_1\bot BC ; A_1\in BC[/tex]
Тъй като [tex]LC[/tex] е ъглополовяща и [tex]\Delta ABC[/tex] е правоъгълен [tex]\Rightarrow A_1CB_1L[/tex] е квадрат
Нека [tex]A_1L=B_1L=A_1C=B_1C=x\Rightarrow AB_1=3-x ; BA_1=4-x \Rightarrow S_{ABC}=x^2+\frac{1}{2}x(3-x)\frac{1}{2}x(4-x)=6[/tex]
[tex]\Rightarrow \cancel{x^2}+\frac{3x}{2}-\cancel{\frac{x^2}{2}}+2x-\cancel{\frac{x^2}{2}}=6 \Rightarrow x=\frac{12}{7}[/tex]