Зима 2016 МБГ

[Цанкова]

математика без граници

[Петър Евгениев]

Якоо
Задача 16
[tex]\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}[/tex]
Ще го кръстя този израз [tex]A[/tex]
[tex]A=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}[/tex], повдигам двете страни на квадрат.
[tex]A^{2}=3-2\sqrt{2}-2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}})+3+2\sqrt{2}[/tex] Съкращаваме [tex]3-2\sqrt{2}[/tex] и [tex]+2\sqrt{2}[/tex]
[tex]A^{2}=2(3-\sqrt{9-8})[/tex]
[tex]A^{2}=2(3-1)[/tex]
[tex]A^{2}=4[/tex]
[tex]A=2[/tex] или [tex]A=-2[/tex]
И понеже както каза колегата, вадим от по-голямо число по-малко требе да е минус.
Начи [tex]A=-2[/tex]

[Davids]

Якоо
Задача 16
[tex]\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}[/tex]
Ще го кръстя този израз [tex]A[/tex]
[tex]A=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}[/tex], повдигам двете страни на квадрат.
[tex]A^{2}=3-2\sqrt{2}-2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}})+3+2\sqrt{2}[/tex] Съкращаваме [tex]3-2\sqrt{2}[/tex] и [tex]+2\sqrt{2}[/tex]
[tex]A^{2}=3(2-\sqrt{9-8})[/tex]
[tex]A^{2}=3(2-1)[/tex]
[tex]A^{2}=3[/tex]
[tex]A=\sqrt{3}[/tex] или [tex]A=-\sqrt{3}[/tex]

Отговорът обаче е -2, имаш неточности в преобразуванията.
Премахни „или“-то, минусът е правилния знак. Вадиш по-голям от по-малък израз. А и точно тук със знаците накрая е щекотливата част при повдигането на втора, трябва да се внимава винаги

$A=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}} |^2$
$A^2 = 3 \cancel{- 2\sqrt{2}} - 2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} + 3 \cancel{+ 2\sqrt{2}} = 6 - 2\sqrt{9 - 8} = 6 - 2 = 4$
$\Rightarrow A = -2$, тъй като $\sqrt{3+2\sqrt{2}} > \sqrt{3-2\sqrt{2}}$

[pal702004]

Под радикалите са $(\sqrt 2\pm 1)^2$

[Davids]

Под радикалите са $(\sqrt 2\pm 1)^2$

За какво говорим, че нещо не схванах?

[ptj]

Не трябва ли все пак да предоставим възможността на ученици да ги решават?

[Davids]

Не трябва ли все пак да предоставим възможността на ученици да ги решават?

Механизмът не е ли, че тук се качват с цел помощ/решение/съвет/отговор. Иначе има и тази гледна точка, съгласявам се, даваме поле за изява на младите Просто мислех, че съответно който ги е качил тук, го е направил с цел да получи решения/различни разглеждания на задачите. Пък на който му се решава, винаги може да спре до даденото в началото на темата

[Петър Евгениев]

Аз съм ученик всичко е точно и при двата случая хаха
И аз така мисля Davids.

[kmitov]

На 15 задача предлагам $N=636=4.3.53$, защото $(3.17).(4.13).53=51.52.53$. Сметките ги правих с EXCEL. Не съм сигурен дали това е най малкото $N$.

[Петър Евгениев]

Задача 13 [tex]\angle AND = \angle CMD =150^\circ[/tex]
[tex]\triangle AMD \cong \triangle DCM[/tex]
Построявам NM
[tex]\Rightarrow \triangle NMD , \angle MND= \angle NMD = \angle MDN= 60^\circ[/tex]
[tex]DN=AN=DM=MC=NM[/tex] (от това, че е равностранен триъгълник [tex]\triangle DNM[/tex]
За [tex]\triangle ANM[/tex], [tex]\angle AND + \angle DNM + \angle ANM =360^\circ[/tex]
[tex]\rightarrow \angle ANM =150^\circ \Rightarrow \angle NAM = \angle NMA=15^\circ[/tex]
[tex]\angle MAB=60^\circ[/tex](защото 30 + колко е 90 )
[tex]\triangle ADM\cong \triangle BCM \Rightarrow \angle CBM =\angle DAM =30^\circ[/tex]
Значи [tex]\angle BAM = \angle ABM =60^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle AMB=60^\circ[/tex]

[ptj]

На 15 задача предлагам $N=636=4.3.53$, защото $(3.17).(4.13).53=51.52.53$. Сметките ги правих с EXCEL. Не съм сигурен дали това е най малкото $N$.

Търсим най- малкото число [tex]x[/tex], за което [tex]13x \equiv l \pmod{17}[/tex], където [tex]l=0,\pm1,\pm2[/tex].
[tex](1.13)\equiv -4 \pmod{17}[/tex]
[tex](2.13)\equiv -8 \pmod{17}[/tex]
[tex](3.13)\equiv +5 \pmod{17}[/tex]
[tex](4.13)\equiv -1 \pmod{17}[/tex] - решение.
Тогава числото, делящо се на [tex]17[/tex] е [tex]4.13-1=51[/tex].
Най-малко произведение се получава при числата [tex]50,51, 4.13=52[/tex].
[tex]N=\frac{50.51.52}{13.17}=50.3.4=600[/tex]

[pal702004]

На 15 задача предлагам $N=636=4.3.53$, защото $(3.17).(4.13).53=51.52.53$. Сметките ги правих с EXCEL. Не съм сигурен дали това е най малкото $N$.

$50\cdot 51 \cdot 52$

[S.B.]

Нека и аз "се пробвам" на зад.16:
[tex]\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}[/tex] - [tex]\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}[/tex] =[tex]\sqrt{2 - 2\sqrt{2} + 1}[/tex] - [tex]\sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1}[/tex] =
[tex]\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^{2}}[/tex] - [tex]\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^{2}}[/tex] =[tex]\sqrt{2}[/tex] - 1 -[tex]\sqrt{2}[/tex] - 1 = -2

[ptj]

19 -та:
От [tex]97[/tex] числа поне [tex]13[/tex] са с еднакъв остатък при деление на [tex]8[/tex] (принцип на Дирихле),
защото [tex]12.8<97\le13.8[/tex] .