Задача по геометрия 7 клас

[babila]

Даден е AВС (остроъгълен триъгълник). Външно за триъгълника са построени квадратите ACMN и
BQRC. Ако AR x BM = O, докажете, че СО е ъглополовяща на триъгълник АCB.

[KOPMOPAH]

Задачата е много хубава. Ето един чертеж за желаещите да я решат, защото не съм сигурен, че я решавам с материал за 7 клас (доста време мина оттогава ... )

Задача по геометрия 7 клас - 1.png (14.26 KiB) Прегледано 1026 пъти

Могат да се формулират и други хубави задачи от тази:

- да се докаже, че точките $N$, $O$ и $F$ лежат на една права;
- да се докаже, че $AR \bot BM$;
- да се докаже, че $\measuredangle AON=\measuredangle NOM=\measuredangle MOC= \measuredangle COR=\measuredangle ROF =\measuredangle FOB$

Скрит текст: покажи

Решава се с описана окръжност

Задача по геометрия 7 клас - 2.png (18.06 KiB) Прегледано 1026 пъти

[babila]

Много благодаря на КОРМОРАН.С уважение: babila

[loving_math]

Не е ли нещо неточно в това условие, по-точно в искането да се докаже, че СО е ъглополовяща на <АСВ? Това ще е така само, ако триъгълникът е равнобедрен, а не по принцип.Със сигурност е ъглополовяща в тр.MOR

[babila]

Благодаря много на loving_math ! Аз също мисля,че нещо не е наред,но условието е точно копирано от учебната тетрадка на "АРХИМЕД".babila

[Knowledge Greedy]

Оказа се точно така.

Не е ли нещо неточно в това условие, по-точно в искането да се докаже, че СО е ъглополовяща на <АСВ? Това ще е така само, ако триъгълникът е равнобедрен, а не по принцип. Със сигурност е ъглополовяща в тр.MOR

Ето защо.

Първа двойка еднакви триъгълници.png (6.89 KiB) Прегледано 902 пъти

По първи признак, всеки вижда, че [tex]\triangle MBC \cong \triangle ARC[/tex]
Изводите са ясни: равенство на съответни елементи, необходимите от които във втория чертеж са означени едноцветно.
И важният извод [tex]AR⊥BM[/tex] от равенството [tex]\angle MBC = \angle ARC[/tex], при което [tex]BC \bot RC[/tex].

Задачата е много хубава.
Могат да се формулират и други хубави задачи от тази:
...
- да се докаже, че AR⊥BM;...

Втора двойка еднакви триъгълници.png (8.07 KiB) Прегледано 902 пъти

Втори признак за еднаквост прилагаме за втора двойка еднакви правоъгълни триъгълници и като резултат (заедно с условието [tex]AR⊥BM[/tex] )получаваме, че четириъгълникът [tex]OPCQ[/tex] е квадрат.
Диагоналът на квадрата е ъглополовяща и [tex]\angle PCO = \angle QCO[/tex].
Тук обаче ни очаква разочарование.

Разочароване confused face.png (6.28 KiB) Прегледано 902 пъти

За да получим [tex]\angle BCO = \angle ACO[/tex] трябва от равните ъгли да извадим равни, а те не са такива: [tex]\angle PCB \ne \angle QCA[/tex], с изключение на случая, когато [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен, с основа [tex]AB[/tex].