Задача за вектори

[Австралопитек]

Здравейте,

опитвам се да реша една задача с вектори, но не мога да я измисля.

Условие:
Точките A, B и C са разположени така, че [tex]\vec{BC}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\vec{AB}[/tex]. Докажете, че за произволна точка O е изпълнено равенството:
[tex]\vec{OB}[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{OA}[/tex] + [tex]\frac{2}{3}[/tex][tex]\vec{OC}[/tex]

Опитах се да представя [tex]\vec{OB}[/tex] по различни начини и да събера получените, но до никъде не стигнах.

Благодаря предварително на всеки помогнал!

[ptj]

[tex]2\vec{BC}=-\vec{BA}\Leftrightarrow 2\vec{BC}+\vec{BA}=\vec{0}[/tex]

[tex]\vec{BO}=\vec{BC}+\vec{CO}[/tex]
[tex]\vec{BO}=\vec{BA}+\vec{AO}[/tex]

Умножаваме лявата и дясната страни на предпоследното равенство по 2 и го прибавямо почленно съответно към лявата и дясната страни на последното:

[tex]2\vec{BO}+BO=(2\vec{BC}+\vec{BA})+2\vec{CO}+\vec{AO}[/tex]

[tex]3\vec{BO}=\vec{0}+2\vec{CO}+\vec{AO}[/tex]

[tex]3\vec{BO}=2\vec{CO}+\vec{AO}=\vec{AO}+2\vec{CO}[/tex] (при събиране на вектори е допустима смяна на местата на събираемите)

[tex]\vec{BO}=\frac{1}{3}\vec{AO}+\frac{2}{3}\vec{CO}[/tex]

Умножаваме лявата и дясната страна на последното по (-1):

[tex]-\vec{BO}=-\frac{1}{3}\vec{AO}-\frac{2}{3}\vec{CO}[/tex]

[tex]\vec{OB}=\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OC}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\fbox{\vec{AB}=2\vec{BC}}$

Нека $\vec{BC}=\vec{b}$ и $\vec{OA}=\vec{a}$

$\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{AB}=\vec{a}+2\vec{b}$

$\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OC}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{OA}+\vec{AB}+\vec{BC})=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{a}+2\vec{b}+\vec{b})=\vec{a}+2\vec{b}$

$\Rightarrow\vec{OB}=\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OC}$

[Австралопитек]

[tex]2\vec{BC}=-\vec{BA}\Leftrightarrow 2\vec{BC}+\vec{BA}=\vec{0}[/tex]

[tex]\vec{BO}=\vec{BC}+\vec{CO}[/tex]
[tex]\vec{BO}=\vec{BA}+\vec{AO}[/tex]

Умножаваме лявата и дясната страни на предпоследното равенство по 2 и го прибавямо почленно съответно към лявата и дясната страни на последното:

[tex]2\vec{BO}+BO=(2\vec{BC}+\vec{BA})+2\vec{CO}+\vec{AO}[/tex]

[tex]3\vec{BO}=\vec{0}+2\vec{CO}+\vec{AO}[/tex]

[tex]3\vec{BO}=2\vec{CO}+\vec{AO}=\vec{AO}+2\vec{CO}[/tex] (при събиране на вектори е допустима смяна на местата на събираемите)

[tex]\vec{BO}=\frac{1}{3}\vec{AO}+\frac{2}{3}\vec{CO}[/tex]

Умножаваме лявата и дясната страна на последното по (-1):

[tex]-\vec{BO}=-\frac{1}{3}\vec{AO}-\frac{2}{3}\vec{CO}[/tex]

[tex]\vec{OB}=\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OC}[/tex]

Благодаря много за решението!

$\fbox{\vec{AB}=2\vec{BC}}$

Нека $\vec{BC}=\vec{b}$ и $\vec{OA}=\vec{a}$

$\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{AB}=\vec{a}+2\vec{b}$

$\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OC}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{OA}+\vec{AB}+\vec{BC})=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{a}+2\vec{b}+\vec{b})=\vec{a}+2\vec{b}$

$\Rightarrow\vec{OB}=\frac{1}{3}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OC}$

Доста интересно! Благодаря и на теб!

[ева]

Ето и моя поглед: Нека т.М е среда на отс. АВ.(АМ=МВ=ВС)

[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{АВ}[/tex]
[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОС}[/tex]+[tex]\vec{СВ}[/tex] (събираме ги)

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{ОС}[/tex]+[tex]\vec{АВ}[/tex]+[tex]\vec{СВ}[/tex]

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{ОС}[/tex]+[tex]\vec{АВ}[/tex]+[tex]\vec{ВМ}[/tex]

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{ОС}[/tex]+[tex]\vec{АМ}[/tex] (1) ( [tex]\vec{АМ}[/tex]=?)

[tex]\vec{АМ}[/tex]=[tex]\frac{\vec{АС}}{3}[/tex]=[tex]\frac{\vec{АО}+\vec{ОС}}{3}[/tex]=-[tex]\frac{\vec{ОА}}{3}[/tex]+[tex]\frac{\vec{ОС}}{3}[/tex] [ зам.в (1) ]

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{ОС}[/tex]-[tex]\frac{\vec{ОА}}{3}[/tex]+[tex]\frac{\vec{ОС}}{3}[/tex]

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\frac{2\vec{ОА}}{3}[/tex]+[tex]\frac{4\vec{ОС}}{3}[/tex]

[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\frac{2}{3}[/tex][tex]\vec{ОС}[/tex]

Скрит текст: покажи

При моето р-е'' трудното'' е да се досетим да построим средата на отс.АВ.

[Австралопитек]

Ето и моя поглед: Нека т.М е среда на отс. АВ.(АМ=МВ=ВС)

[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{АВ}[/tex]
[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОС}[/tex]+[tex]\vec{СВ}[/tex] (събираме ги)

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{ОС}[/tex]+[tex]\vec{АВ}[/tex]+[tex]\vec{СВ}[/tex]

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{ОС}[/tex]+[tex]\vec{АВ}[/tex]+[tex]\vec{ВМ}[/tex]

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{ОС}[/tex]+[tex]\vec{АМ}[/tex] (1) ( [tex]\vec{АМ}[/tex]=?)

[tex]\vec{АМ}[/tex]=[tex]\frac{\vec{АС}}{3}[/tex]=[tex]\frac{\vec{АО}+\vec{ОС}}{3}[/tex]=-[tex]\frac{\vec{ОА}}{3}[/tex]+[tex]\frac{\vec{ОС}}{3}[/tex] [ зам.в (1) ]

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\vec{ОС}[/tex]-[tex]\frac{\vec{ОА}}{3}[/tex]+[tex]\frac{\vec{ОС}}{3}[/tex]

2[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\frac{2\vec{ОА}}{3}[/tex]+[tex]\frac{4\vec{ОС}}{3}[/tex]

[tex]\vec{ОВ}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\vec{ОА}[/tex]+[tex]\frac{2}{3}[/tex][tex]\vec{ОС}[/tex]

Скрит текст: покажи

При моето р-е'' трудното'' е да се досетим да построим средата на отс.АВ.

Благодаря ти!