Задача за средна основа

[Австралопитек]

Здравейте, имам нужда от помощ със следната задача:

Намерете ъглите на равнобедрен трапец, ако бедрото му е два пъти по-голямо от отсечката, съединяваща средите на диагоналите му.

Благодаря предварително на всеки помогнал!

[Knowledge Greedy]

Отсечката, свързваща средите на диагоналите му, е [tex]\frac{a-b}{2}[/tex]
Значи бедрото е равно на разликата на основите - там някъде има равностранен триъгълник.

Равнобедрен трапец с равностранен триъгълник в него.png (6 KiB) Прегледано 976 пъти

[Австралопитек]

Отсечката, свързваща средите на диагоналите му, е [tex]\frac{a-b}{2}[/tex]
Значи бедрото е равно на разликата на основите - там някъде има равностранен триъгълник.

Равнобедрен трапец с равностранен триъгълник в него.png

Не разбрах много какво имаш предвид. Мога да докажа, че отсечката, свързваща диагоналите му, е равна на [tex]\frac{a - b}{2}[/tex], ако успея да докажа, че лежи на средната основа на трапеца, което не знам как да направя. И оттам нататък единственото, което разбрах е, че трябва да представя бедрата като a − b.

[Knowledge Greedy]

В евклидовата геометрия през точка ([tex]P[/tex]), нележаща на дадена права ([tex]CD[/tex]), минава единствена права ([tex]p[/tex]), успоредна на дадената ([tex]p \left | \right | CD[/tex]). Виж чертежа - каква е взаимната връзка между трите точки [tex]M, N[/tex] и [tex]P[/tex] (и споменатата права [tex]p[/tex]).

4 точки McommaNcommaPcommaQ на една права p.png (3.08 KiB) Прегледано 962 пъти

[tex]MP \left | \right | DC[/tex] - като средна отсечка в [tex]\triangle CDA[/tex], но [tex]PN \left | \right |AB[/tex] - като средна отсечка в [tex]\triangle ABC[/tex] и, разбира се [tex]AB\left | \right | DC[/tex].
Следователно [tex]P\in MN[/tex]
Точно с толкова още усилия доказваме, че и средата на другия диагонал лежи отново върху същата права [tex]p[/tex], т.е. върху средната отсечка [tex]MN[/tex] на трапеца.
____________
На горния чертеж не спазих условието за равнобедреност на трапеца, но твърдението е вярно за всеки трапец.