Равнобедрен трапец

[simona_ovcharova]

Отново задача, за която не съм сигурна, че мога да реша, но този път ще споделя повече мои идеи. Значи имаме равнобедрен трапец ABCD (AB || CD). Диагоналите му AC и BD са перпендикулярни и се пресичат в точка O. През точка O е построена права l, която пресича бедрата AD и BC съответно в точки P и Q. Докажете, че:
а) P е среда на бедрото AD, ако правата l е перпендикулярна на BC
б) PQ [tex]\bot[/tex] BC, ако точката P е среда на бедрото AD.

Ще споделя какви указания са дали те. За а) докажете, че [tex]\triangle[/tex] AOP и [tex]\triangle[/tex] POD са равнобедрени, а за б) Правоъгълният [tex]\triangle[/tex] AOD се разделя от медианата OP на два равнобедрени триъгълника.

Сега да изложа моето решение, което не знам дали е вярно. Построяваме си една права a, като D [tex]\in[/tex] a, a || AO; [tex]DA_{1 }[/tex] = AO, [tex]DA_{1 }\in a[/tex]; Построяваме си [tex]DA_{1 }AO[/tex] и доказваме, че е успоредник, от което следва, че диагоналите се разполовяват, а пък те се пресичат в точка P и AD е един от диагоналите. Нещото, което ме притеснява е дали другият диагонал ([tex]A_{1 }O[/tex]) лежи на правата l, защото ако не се променя пресечната точка и тя става различна от P и вече доказателството става грешно. Има ли как да установим дали другият диагонал лежи на l?

[ptj]

а.)Mедианата в правоъгълен триъгълник е равна на половината хипотенуза (диагоналите на правоъгълника се разполовяват и са равни), т.е. в [tex]\triangle DOA[/tex] е изпълнено : [tex]AP=OP\Rightarrow \angle{PAO}=\angle{POA}=x[/tex].

[tex]\angle{QOB}=180^\circ-\angle{POA}-\angle{AOB}=180^\circ-x-90^\circ)=90^\circ-x[/tex]

[tex]\angle{PAO}=\angle{QBO}=x[/tex] (следва от [tex]\triangle DAC=\triangle CDB[/tex] )

[tex]\angle PQB=\angle OQB=180^\circ-\angle{QOB}-\angle{QBO}=180^\circ-(90^\circ-x)-x=90^\circ[/tex]

б.) записваш всичко от подточка а.) в обратен ред.

[simona_ovcharova]

а.)Mедианата в правоъгълен триъгълник е равна на половината хипотенуза (диагоналите на правоъгълника се разполовяват и са равни), т.е. в [tex]\triangle DOA[/tex] е изпълнено : [tex]AP=OP\Rightarrow \angle{PAO}=\angle{POA}=x[/tex].

[tex]\angle{QOB}=180^\circ-\angle{POA}-\angle{AOB}=180^\circ-x-90^\circ)=90^\circ-x[/tex]

[tex]\angle{PAO}=\angle{QBO}=x[/tex] (следва от [tex]\triangle DAC=\triangle CDB[/tex] )

[tex]\angle PQB=\angle OQB=180^\circ-\angle{QOB}-\angle{QBO}=180^\circ-(90^\circ-x)-x=90^\circ[/tex]

б.) записваш всичко от подточка а.) в обратен ред.

Благодаря ти за решението. Можеш ли да ми кажеш дали моето е вярно?

[ptj]

[tex]т.P\in AD[/tex] (вътрешна) и не лежи на диагонала [tex]AA_1[/tex], т.е. решението ти е грешно или не си го описала правилно, защото за мен успоредник е [tex]AOA_1D[/tex]...

Обикновено допълнителни построения се правят при намерена вече зависимост(хипотеза) с цел нейното по-лесно доказване.

[simona_ovcharova]

а.)Mедианата в правоъгълен триъгълник е равна на половината хипотенуза (диагоналите на правоъгълника се разполовяват и са равни), т.е. в [tex]\triangle DOA[/tex] е изпълнено : [tex]AP=OP\Rightarrow \angle{PAO}=\angle{POA}=x[/tex].

[tex]\angle{QOB}=180^\circ-\angle{POA}-\angle{AOB}=180^\circ-x-90^\circ)=90^\circ-x[/tex]

[tex]\angle{PAO}=\angle{QBO}=x[/tex] (следва от [tex]\triangle DAC=\triangle CDB[/tex] )

[tex]\angle PQB=\angle OQB=180^\circ-\angle{QOB}-\angle{QBO}=180^\circ-(90^\circ-x)-x=90^\circ[/tex]

б.) записваш всичко от подточка а.) в обратен ред.

За кой правоъгълник говориш? Според мен правоъгълник може да се получи в трапеца само ако пуснем двете височини. В равнобедрен трапец диагоналите са равни, но не се разполовяват.

[ptj]

Исках да кажа, че двете твърдения са еквивалентни.

Не знам дали в 7-ми клас знаете, че "медианата в правоъгълен триъгълник е равна на [tex]\frac{1}{2}[/tex] от хипотенузата".
Горното твърдение е еквивалентно на " диагоналите на правоъгълника се разполовяват и са равни помежду си".
Може да го знаете по този начин, защото диагонала разделя правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника.

[Петър Евгениев]

Исках да кажа, че двете твърдения са еквивалентни.

Не знам дали в 7-ми клас знаете, че "медианата в правоъгълен триъгълник е равна на [tex]\frac{1}{2}[/tex] от хипотенузата".

Знаят!

[simona_ovcharova]

Исках да кажа, че двете твърдения са еквивалентни.

Не знам дали в 7-ми клас знаете, че "медианата в правоъгълен триъгълник е равна на [tex]\frac{1}{2}[/tex] от хипотенузата".
Горното твърдение е еквивалентно на " диагоналите на правоъгълника се разполовяват и са равни помежду си".
Може да го знаете по този начин, защото диагонала разделя правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника.

Да, знаем твърдението. От това, което ти си написал, аз разбирам, че прилагаш теоремата за медиана в правоъгълен триъгълник в [tex]\triangle AOD[/tex]. Не трябва ли, за да я приложим да знаем, че P е среда на AD? Тоест, че PO е медиана. В случая трябва да докажем точно това т.е. не разбирам как я прилагаш.

[ptj]

Извинявам се, написаното е доказателство за подточка [tex]б.)[/tex], а "обратния ред" е за подточка а.)

Може да поставите между отделните редове на доказателството знака [tex]\Leftrightarrow[/tex] (равносилност). Тогава, то ще важи и в двете посоки.

-----------------------------------

Има и друг вариант за решение (смяна на задачата):

Променяте условието на :
равнобедрен трапец [tex]ABCD[/tex], [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]AD=BC[/tex], [tex]AC\cap BD=\{т.O\}[/tex], [tex]AC\bot BD[/tex],
[tex]т.P[/tex] е среда на [tex]AD[/tex], [tex]т.Q\in CD[/tex], [tex]QO\bot BC[/tex].

Иска се да докажете, че точките [tex]P,O,Q[/tex] лежат на една права ([tex]\angle POQ=180^\circ[/tex]).

П.П. Ако ходите на състезания- подобни нетрадиционни прийоми за решение са нещо обичайно.

[simona_ovcharova]

Извинявам се, написаното е доказателство за подточка [tex]б.)[/tex], а "обратния ред" е за подточка а.)

Може да поставите между отделните редове на доказателството знака [tex]\Leftrightarrow[/tex] (равносилност). Тогава, то ще важи и в двете посоки.

-----------------------------------

Има и друг вариант за решение (смяна на задачата):

Променяте условието на :
равнобедрен трапец [tex]ABCD[/tex], [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]AD=BC[/tex], [tex]AC\cap BD=\{т.O\}[/tex], [tex]AC\bot BD[/tex],
[tex]т.P[/tex] е среда на [tex]AD[/tex], [tex]т.Q\in CD[/tex], [tex]QO\bot BC[/tex].

Иска се да докажете, че точките [tex]P,O,Q[/tex] лежат на една права ([tex]\angle POQ=180^\circ[/tex]).

П.П. Ако ходите на състезания- подобни нетрадиционни прийоми за решение са нещо обичайно.

Благодаря! Схванах задачата и ще пробвам и другия вариант, който споменахте.