Окръжност и ъгли, свързани с окръжността

[simona_ovcharova]

Окръжностите [tex]k_{1 }[/tex] и [tex]k_{2 }[/tex] се пресичат в точките A и B. Права l минава през A и пресича [tex]k_{1 }[/tex] и [tex]k_{2 }[/tex] съответно в точките P и Q. През точка P е построена допирателна [tex]t_{1 }[/tex] към [tex]k_{1 }[/tex], а през точка Q - допирателна [tex]t_{2 }[/tex] към [tex]k_{2 }[/tex]. Правите [tex]t_{1 }[/tex] и [tex]t_{2 }[/tex] се пресичат в точка O. Докажете, че големината на [tex]\angle POQ[/tex] не зависи от избора на правата l.

Направих чертеж:

Screenshot_6.png (41.93 KiB) Прегледано 658 пъти

Мога ли да разсъждавам така?
[tex]\angle APO[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] $\overbrace {\bf AP}$ (периферен)
[tex]\angle AQO[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex] $\overbrace {\bf AQ}$ (периферен)
Разглеждаме [tex]\triangle PQO[/tex]:
ъгълът, който търсим е разликата на [tex]180^\circ[/tex] с двата, които изразих по-отгоре, а те не зависят от правата l, а от дъгите [tex]\Rightarrow[/tex] големината му не зависи от избора на правата l.

Права ли съм?

[KOPMOPAH]

Браво за чертежа!

[KOPMOPAH]

Ще сложа моя чертеж, защото има допълнителни елементи.

Окръжност и ъгли, свързани с окръжността.png (13.91 KiB) Прегледано 644 пъти

Триъгълниците $\triangle APO_1$ и $\triangle AQO_2$ са равнобедрени. Имаме $$\measuredangle APO_1=\measuredangle PAO_1=90^\circ-\measuredangle APO~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$ и $$\measuredangle AQO_2=\measuredangle QAO_2=90^\circ-\measuredangle AQO~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$Събирайки равенствата $(1)$ и $(2)$ получаваме $$\measuredangle PAO_1+\measuredangle QAO_2=90^\circ-\measuredangle APO+90^\circ-\measuredangle AQO=$$ $$=180^\circ-(\measuredangle APO+\measuredangle AQO)$$ $$\Rightarrow \measuredangle PAO_1+\measuredangle QAO_2=\measuredangle POQ(=\alpha)~~~~~~~~~~~~~~(3)$$
Тъй като $\measuredangle POQ=180^\circ$, $$\measuredangle PAO_1+\measuredangle O_AO_2+\measuredangle QAO_2=180^\circ$$Като заместим с гръцките букви за по-кратко $$\alpha+\beta=180^\circ$$Ъгълът $\beta$ не зависи от положението на правата, т.е. $\beta=\operatorname {const}$, и след като сумата им също е постоянна следва, че и ъгълът $\alpha$ e константа.

[simona_ovcharova]

Ще сложа моя чертеж, защото има допълнителни елементи.

Окръжност и ъгли, свързани с окръжността.png

Триъгълниците $\triangle APO_1$ и $\triangle AQO_2$ са равнобедрени. Имаме $$\measuredangle APO_1=\measuredangle PAO_1=90^\circ-\measuredangle APO~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$ и $$\measuredangle AQO_2=\measuredangle QAO_2=90^\circ-\measuredangle AQO~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$Събирайки равенствата $(1)$ и $(2)$ получаваме $$\measuredangle PAO_1+\measuredangle QAO_2=90^\circ-\measuredangle APO+90^\circ-\measuredangle AQO=$$ $$=180^\circ-(\measuredangle APO+\measuredangle AQO)$$ $$\Rightarrow \measuredangle PAO_1+\measuredangle QAO_2=\measuredangle POQ(=\alpha)~~~~~~~~~~~~~~(3)$$
Тъй като $\measuredangle POQ=180^\circ$, $$\measuredangle PAO_1+\measuredangle O_AO_2+\measuredangle QAO_2=180^\circ$$Като заместим с гръцките букви за по-кратко $$\alpha+\beta=180^\circ$$Ъгълът $\beta$ не зависи от положението на правата, т.е. $\beta=\operatorname {const}$, и след като сумата им също е постоянна следва, че и ъгълът $\alpha$ e константа.

Благодаря много! Не разбрах обаче мога ли по моя начин да твърдя, че ъгълът не зависи от положението на правата?

[KOPMOPAH]

ъгълът, който търсим е разликата на $180^\circ$ с двата, които изразих по-отгоре, а те не зависят от правата l, а от дъгите

Напротив, ъглите зависят от правата $l$, защото тя определя големината на дъгите чрез хордите. Ако погледнеш на чертежите по-долу, ще видиш как при различно положение на правата $l$ тези ъгли са различни, но $\measuredangle \alpha$ и $\measuredangle \beta$ не се променят.А защо не се променят е обяснено в решението

При едно положение на правата $l$

Окръжност и ъгли, свързани с окръжността-2.png (13.58 KiB) Прегледано 604 пъти

При друго положение на правата $l$

Окръжност и ъгли, свързани с окръжността-1.png (13.08 KiB) Прегледано 604 пъти