Рационални изрази

[simona_ovcharova]

Докажете, че ако a + b + c = 0, то
([tex]\frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b}[/tex])([tex]\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b}[/tex]) = 9

Здравейте,
първо почнах да привеждам към общи знаменатели и в двете скоби, но после осъзнах, че мога да намаля броя на променливите като изразя някоя от тях с другите две от даденото равенство. След като го направих и заместих в дадения израз, доста време привеждах към общи знаменатели, разкривах скоби, но накрая не получих тази девятка. Има ли по-лесен начин или просто трябва да започна отначало с всичко, защото съм допуснала грешка?

[Евва]

Нека А=[tex]\frac{a-b}{c}[/tex]+[tex]\frac{b-c}{a}[/tex]+[tex]\frac{c-a}{b}[/tex] ,a B=[tex]\frac{a}{b-c}[/tex]+[tex]\frac{b}{c-a}[/tex]+[tex]\frac{c}{a-b}[/tex] ; знаем c=-a-b
Ще докажем,че А.В=9

A=[tex]\frac{b-a}{a+b}[/tex]+[tex]\frac{a+2b}{a}[/tex]-[tex]\frac{2a+b}{b}[/tex]=...=[tex]\frac{2b^{3}-2a^{3}+3ab^{2}-3a^{2}b}{ab(a+b)}[/tex]

числителят на A=([tex]a^{3}[/tex]-3[tex]a^{2}[/tex]b+3a[tex]b^{2}[/tex]-[tex]b^{3}[/tex])-3([tex]a^{3}[/tex]-[tex]b^{3}[/tex])=[tex](a-b)^{3}[/tex]-3(a-b)([tex]a^{2}[/tex]+ab+[tex]b^{2}[/tex]) ...

Накрая A=[tex]\frac{(b-a)(2a^{2}+2b^{2}+5ab)}{ab(a+b)}[/tex]

B=[tex]\frac{9ab(a+b)}{(a+2b)(2a+b)(b-a)}[/tex] [ Просто събираме дробите. ]

Пресметни сама А.B=