Задача за движение

[simona_ovcharova]

Може ли малко помощ, защото нищо не мога да направя на тази задача. Как да започна и как да разсъждавам?

Два автомобила тръгнали едновременно един срещу друг от два града A и B. В момента на разминаването им се оказало, че са на разстояние 70 km от А. След като всеки от тях пристигнал до града, към който пътувал, тръгнал веднага обратно и този път автомобилите се разминали на разстояние 40 km от B. Намерете:
а) разстоянието между двата града A и B
б) отношението на скоростите на двата автомобила

[S.B.]

Може ли малко помощ, защото нищо не мога да направя на тази задача. Как да започна и как да разсъждавам?

Два автомобила тръгнали едновременно един срещу друг от два града A и B. В момента на разминаването им се оказало, че са на разстояние 70 km от А. След като всеки от тях пристигнал до града, към който пътувал, тръгнал веднага обратно и този път автомобилите се разминали на разстояние 40 km от B. Намерете:
а) разстоянието между двата града A и B
б) отношението на скоростите на двата автомобила

Нека целия път означиме с $S$;Скоростта на автомобила идващ от $A$ (първи автомобил) да е $V_{1 }$ , а скоростта на автомобила идващ от $B$ (втори автомобил) да е $V_{2 }$
До първото разминаване: Пътят на първия автомобил е $70$ км, а на вторият е $(S - 70)$км; Тогава $t_{1 } = \frac{70}{V_{1 }} , t_{2 } = \frac{S - 70}{V_{2 }}$
Те са тръгнали едновременно [tex]\Rightarrow t_{1 } = t_{2 }[/tex] или [tex]\frac{70}{V_{1 }} = \frac{S - 70}{V_{2 }} \Rightarrow V_{2 } = V_{1 }\frac{S - 70}{70}[/tex]
До второто разминаване: Пътят на първия е :$S + S - 40 = 2S - 40$ (понеже на отиване е изминал цялото разстояние,а на връщане с $40$ км по-малко)
Пътят на вторият е : $S + 40$ ,(защото на отиване е изминал цялото разстояние,а на връщане само $40$ км)
Отново времето и на двата автомобила е еднакво: [tex]t_{1 } = \frac{2S - 40}{V_{1 }} , t_{2 } = \frac{S + 40}{V_{2 }}[/tex] , но ние получихме,че [tex]V_{2 } = V_{1 }\frac{S - 70}{70}[/tex]
[tex]t_{1 } = t_{2 }[/tex] или [tex]\displaystyle \frac{2S - 40}{V_{1 }} = \displaystyle \frac{S + 40}{\displaystyle \frac{V_{1 }(S - 70)}{70}} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{2S - 40}{V_{1 }} = \displaystyle \frac{70(S + 40)}{V_{1 }(S - 70)} \Leftrightarrow (2S - 40)(S - 70) = 70(S + 40)[/tex]
[tex]2S^{2} - 140S - 40S + 70.40 = 70S + 70.40 \Leftrightarrow 2S^{2} - 250S = 0 \Leftrightarrow S.(S - 125) = 0 ,S \ne 0 \Rightarrow S - 125 = 0[/tex]
Получи се $S = 125 km$ ,[tex]\frac{V_{2 }}{V_{1 }} = \frac{S - 70}{70} = \frac{55}{70} = \frac{11}{14}[/tex]

[simona_ovcharova]

Може ли малко помощ, защото нищо не мога да направя на тази задача. Как да започна и как да разсъждавам?

Два автомобила тръгнали едновременно един срещу друг от два града A и B. В момента на разминаването им се оказало, че са на разстояние 70 km от А. След като всеки от тях пристигнал до града, към който пътувал, тръгнал веднага обратно и този път автомобилите се разминали на разстояние 40 km от B. Намерете:
а) разстоянието между двата града A и B
б) отношението на скоростите на двата автомобила

Нека целия път означиме с $S$;Скоростта на автомобила идващ от $A$ (първи автомобил) да е $V_{1 }$ , а скоростта на автомобила идващ от $B$ (втори автомобил) да е $V_{2 }$
До първото разминаване: Пътят на първия автомобил е $70$ км, а на вторият е $(S - 70)$км; Тогава $t_{1 } = \frac{70}{V_{1 }} , t_{2 } = \frac{S - 70}{V_{2 }}$
Те са тръгнали едновременно [tex]\Rightarrow t_{1 } = t_{2 }[/tex] или [tex]\frac{70}{V_{1 }} = \frac{S - 70}{V_{2 }} \Rightarrow V_{2 } = V_{1 }\frac{S - 70}{70}[/tex]
До второто разминаване: Пътят на първия е :$S + S - 40 = 2S - 40$ (понеже на отиване е изминал цялото разстояние,а на връщане с $40$ км по-малко)
Пътят на вторият е : $S + 40$ ,(защото на отиване е изминал цялото разстояние,а на връщане само $40$ км)
Отново времето и на двата автомобила е еднакво: [tex]t_{1 } = \frac{2S - 40}{V_{1 }} , t_{2 } = \frac{S + 40}{V_{2 }}[/tex] , но ние получихме,че [tex]V_{2 } = V_{1 }\frac{S - 70}{70}[/tex]
[tex]t_{1 } = t_{2 }[/tex] или [tex]\displaystyle \frac{2S - 40}{V_{1 }} = \displaystyle \frac{S + 40}{\displaystyle \frac{V_{1 }(S - 70)}{70}} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{2S - 40}{V_{1 }} = \displaystyle \frac{70(S + 40)}{V_{1 }(S - 70)} \Leftrightarrow (2S - 40)(S - 70) = 70(S + 40)[/tex]
[tex]2S^{2} - 140S - 40S + 70.40 = 70S + 70.40 \Leftrightarrow 2S^{2} - 250S = 0 \Leftrightarrow S.(S - 125) = 0 ,S \ne 0 \Rightarrow S - 125 = 0[/tex]
Получи се $S = 125 km$ ,[tex]\frac{V_{2 }}{V_{1 }} = \frac{S - 70}{70} = \frac{55}{70} = \frac{11}{14}[/tex]

Помислих малко повече и аз успях да напиша няколко уравнения. Отговорите, които са дали са 170 км. и 7:10.

Първото ми уравнение е:
[tex]\frac{70}{V_1} = \frac{x - 70}{V_2}[/tex], като разстоянието между двата града е x, a [tex]V_{1 }[/tex] и [tex]V_{2 }[/tex] са съответно скоростите им.
Второто:
[tex]\frac{x - 30}{V_1} = \frac {x + 30}{V_2}[/tex]
Изглеждаше ми по-логично да ги разделя и така получих отговорите, които те са дали. Всъщност първото от тях изразява равните им времена до първата среща, а второто от нея до втората. Ясно е, че може да се състави и трето уравнение, защото имаме три неизвестни, но за целта на задачата не е нужно. Всеки две такива би трябвало да водят до правилния отговор.

[S.B.]

Помислих малко повече и аз успях да напиша няколко уравнения. Отговорите, които са дали са 170 км. и 7:10.

Първото ми уравнение е:
[tex]\frac{70}{V_1} = \frac{x - 70}{V_2}[/tex], като разстоянието между двата града е x, a [tex]V_{1 }[/tex] и [tex]V_{2 }[/tex] са съответно скоростите им.
Второто:
[tex]\frac{x - 30}{V_1} = \frac {x + 30}{V_2}[/tex]
Изглеждаше ми по-логично да ги разделя и така получих отговорите, които те са дали. Всъщност първото от тях изразява равните им времена до първата среща, а второто от нея до втората. Ясно е, че може да се състави и трето уравнение, защото имаме три неизвестни, но за целта на задачата не е нужно. Всеки две такива би трябвало да водят до правилния отговор.

Е,моята грешка идва от това,че съм разменила пътищата на първия и втория:
[tex]V_{2 } = V_{1 }\frac{S-70}{70} ,\frac{2S - 40}{V_{2 }} = \frac{S + 40}{V_{1 }} \Leftrightarrow 70(2S - 40) = (S + 40)(S - 70) \Leftrightarrow S^{2} - 170S = 0 \Rightarrow S = 170[/tex]
А Вие как ще обясните логиката да разделите едното на другото уравнение , за да получите зададените в сборника отговори?Всъщност Вие въобще не сте разбрали,че от първото уравнение се изразява скоростта на втория,чрез скоростта на първия,иначе щяхте да го използвате.

[simona_ovcharova]

Помислих малко повече и аз успях да напиша няколко уравнения. Отговорите, които са дали са 170 км. и 7:10.

Първото ми уравнение е:
[tex]\frac{70}{V_1} = \frac{x - 70}{V_2}[/tex], като разстоянието между двата града е x, a [tex]V_{1 }[/tex] и [tex]V_{2 }[/tex] са съответно скоростите им.
Второто:
[tex]\frac{x - 30}{V_1} = \frac {x + 30}{V_2}[/tex]
Изглеждаше ми по-логично да ги разделя и така получих отговорите, които те са дали. Всъщност първото от тях изразява равните им времена до първата среща, а второто от нея до втората. Ясно е, че може да се състави и трето уравнение, защото имаме три неизвестни, но за целта на задачата не е нужно. Всеки две такива би трябвало да водят до правилния отговор.

Е,моята грешка идва от това,че съм разменила пътищата на първия и втория:
[tex]V_{2 } = V_{1 }\frac{S-70}{70} ,\frac{2S - 40}{V_{2 }} = \frac{S + 40}{V_{1 }} \Leftrightarrow 70(2S - 40) = (S + 40)(S - 70) \Leftrightarrow S^{2} - 170S = 0 \Rightarrow S = 170[/tex]
А Вие как ще обясните логиката да разделите едното на другото уравнение , за да получите зададените в сборника отговори?Всъщност Вие въобще не сте разбрали,че от първото уравнение се изразява скоростта на втория,чрез скоростта на първия,иначе щяхте да го използвате.

Целта да разделя двете уравнения, които получих, далеч не е, за да получа отговорите, които са в сборника, а просто това е естественото продължение на решението ми. Така оставам с единствена променлива и то именно пътят, който се търси в задачата. Не разбрах какво не съм разбрала! Вашето решение или уравненията, които си получих?