Описана окръжност около триъгълник

[simona_ovcharova]

В неравнобедрен [tex]\triangle АВС[/tex] отсечките [tex]CH[/tex], [tex]CL[/tex] и [tex]CM[/tex] са съответно височина, ъглополовяща и медиана. Докажете, че [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex] тогава и само тогава, когато [tex]\angle HCL = \angle MCL[/tex].

Capture.PNG (27.76 KiB) Прегледано 524 пъти

Мисля, че трябва да докажем, че [tex]\triangle MCB[/tex] (или [tex]\triangle ACM[/tex]) е равнобедрен, за да можем да твърдим, че [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен. Не мога да го направя и ще съм много благодарна, ако някой ми помогне.

[S.B.]

В неравнобедрен [tex]\triangle АВС[/tex] отсечките [tex]CH[/tex], [tex]CL[/tex] и [tex]CM[/tex] са съответно височина, ъглополовяща и медиана. Докажете, че [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex] тогава и само тогава, когато [tex]\angle HCL = \angle MCL[/tex].

Capture.PNG

Мисля, че трябва да докажем, че [tex]\triangle MCB[/tex] (или [tex]\triangle ACM[/tex]) е равнобедрен, за да можем да твърдим, че [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен. Не мога да го направя и ще съм много благодарна, ако някой ми помогне.

Имате словосъчетанието "тогава и само тогава , т.е. необходимо и достатъчно условие
Трябва да разгледате 2 случая:
1) Приемате,че [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex] и доказвате,че [tex]\angle HCL = MCL[/tex]
2) Приемате,че [tex]\angle HCL = \angle MCL[/tex] и доказвате,че [tex]\angle ACB = 90^\circ[/tex]

[Евва]

Дадено е,че неравнобедреният [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен ([tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex])
Ще докажем ,че [tex]\angle[/tex]HCL=[tex]\angle[/tex]MCL
________________________________________________________
Означаваме [tex]\angle[/tex]HCL=[tex]\alpha[/tex] (1)

[tex]\angle[/tex]LCB=45[tex]^\circ[/tex] , [tex]\angle[/tex]HCL=[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]HCB=45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] ; (разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ВНС) [tex]\angle[/tex]СВН=45[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex]
([tex]\triangle[/tex]АВС) [tex]\angle[/tex]ВАС=45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
СМ=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex]=АМ (защото [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен) т.е. [tex]\angle[/tex]МАС=[tex]\angle[/tex]АСМ=45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]

Накрая разглеждаме [tex]\triangle[/tex]НАС [tex]\angle[/tex]СНА+[tex]\angle[/tex]НАС+[tex]\angle[/tex]АСН=180[tex]^\circ[/tex]
90[tex]^\circ[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+[tex]\angle[/tex]MCL+[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]MCL=[tex]\alpha[/tex] [виж (1) ] получаваме [tex]\angle[/tex]MCL=[tex]\angle[/tex]HCL

Скрит текст: покажи

Работих по 1 случай,който S.B. описа .

[DekataBG]

Ъгъл HCB = 45 - x
От триъгълник HCB следва, че ъгъл ABC=45 + x
И ъгъл CMB = 45 + x.
Следователно AM=BM.Значи триъгълникът е правоъгълен.

[inveidar]

Ъгъл HCB = 45 - x
От триъгълник HCB следва, че ъгъл ABC=45 + x
И ъгъл CMB = 45 + x.
Следователно AM=BM.Значи триъгълникът е правоъгълен.

Грешно.

[DekataBG]

Ааа, да...Аз приемам, че ъгълът е 90 градуса...