Забележителни точки в триъгълник

[simona_ovcharova]

Дадена е окръжност [tex]k[/tex] с диаметър [tex]AB[/tex]. Правите [tex]PC[/tex] и [tex]PD[/tex] се допират до окръжността [tex]k[/tex], като [tex]C\in k[/tex] и [tex]D \in k[/tex]. Правите [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] се пресичат в точка [tex]K[/tex], Докажете, че правите [tex]PK[/tex] и [tex]AB[/tex] са перпендикулярни.

geogebra-export.png (273.23 KiB) Прегледано 801 пъти

Както виждате от чертежа, [tex]K_1[/tex] е пресечната точка на [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex]. Не съм сигурна как да докажа, че [tex]P \in KK_1[/tex] и това е една от причините, поради които качвам задачата. Ако успея да докажа, че точката [tex]P \in KK_1[/tex], мисля че мога да твърдя, че [tex]KK_1 \bot AB[/tex]. Целта ми като цяло е да докажа, че [tex]B[/tex] е ортоцентър и да използвам това, но не знам как да го докажа. Ще съм много благодарна, ако някой ми помогне.

[KOPMOPAH]

В условието нищо не казва за положението на т.$P$ спрямо $AB$. На чертежа лежи на правата $AB$, така ли е в действителност?
Ако е така, то $AC=AD$ и с някоя друга двойка еднакви триъгълници задачата е решена.

P.S. Отговорих си сам, като начертах това:

Забележителни точки в триъгълник.png (9.75 KiB) Прегледано 757 пъти

Вижда се, че $P \cancel {\in} AB$, а перпендикулярността си остава.

[simona_ovcharova]

В условието нищо не казва за положението на т.$P$ спрямо $AB$. На чертежа лежи на правата $AB$, така ли е в действителност?
Ако е така, то $AC=AD$ и с някоя друга двойка еднакви триъгълници задачата е решена.

P.S. Отговорих си сам, като начертах това:

Забележителни точки в триъгълник.png

Вижда се, че $P \cancel {\in} AB$, а перпендикулярността си остава.

Не, точката $P$ не лежи на правата $AB$. На чертежа така ми се е получило.

[inveidar]

DP=KP ще ти свърши ли работа?

[Доцент Колев]

Чертежът е свързан с теоремата на Паскал. Добре си тръгнала с пресечната точка на $AD$ и $BC$. $B$ е ортоцентър на $\triangle AK_1K$ ($\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$), следователно $KK_1 \bot AB$. От теорема на Паскал за $ACCBDD$ може да твърдиш, че $K, P$ и $K_1$ са колинеарни, защото са пресечни точки на срещулежащи страни (вървят през една точка) в шестоъгълника. Друг вариант, който вероятно е по-близък до това, което учите, е да докажеш, че всяка от допирателните към окръжността в точките $C$ и $D$ пресича $KK_1$ в нейната среда.

Ако допирателната към окръжността в точка $C$ пресича отсечката $KK_1$ в точка $Q$, докажи, че $Q$ е среда на $KK_1$. Ако допирателната към окръжността в точка $D$ пресича отсечката $KK_1$ в точка $Q'$, докажи, че $Q'$ е среда на $KK_1$. Какво поличихме? $Q \equiv Q'$. Точката $Q$ лежи и на двете допирателни, т.е. е тяхната пресечна точка, следователно $P \equiv Q$.

[simona_ovcharova]

Чертежът е свързан с теоремата на Паскал. Добре си тръгнала с пресечната точка на $AD$ и $BC$. $B$ е ортоцентър на $\triangle AK_1K$ ($\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$), следователно $KK_1 \bot AB$. От теорема на Паскал за $ACCBDD$ може да твърдиш, че $K, P$ и $K_1$ са колинеарни, защото са пресечни точки на срещулежащи страни (вървят през една точка) в шестоъгълника. Друг вариант, който вероятно е по-близък до това, което учите, е да докажеш, че всяка от допирателните към окръжността в точките $C$ и $D$ пресича $KK_1$ в нейната среда.

Ако допирателната към окръжността в точка $C$ пресича отсечката $KK_1$ в точка $Q$, докажи, че $Q$ е среда на $KK_1$. Ако допирателната към окръжността в точка $D$ пресича отсечката $KK_1$ в точка $Q'$, докажи, че $Q'$ е среда на $KK_1$. Какво поличихме? $Q \equiv Q'$. Точката $Q$ лежи и на двете допирателни, т.е. е тяхната пресечна точка, следователно $P \equiv Q$.

Благодаря много!

[inveidar]

чччччч.png (30.42 KiB) Прегледано 696 пъти

Да решим задачата с материал за 8-ми клас:
Построяваме окръжност с център [tex]P[/tex] и радиус [tex]PC=PD[/tex].
Ще докажем, че [tex]K[/tex] лежи на тази окръжност.
[tex]\angle AKD=\frac{1}{2}(\widehat{AD}-\widehat{BC} )=\angle ACD-\angle CAB=\angle ACD-\angle OCA=\angle OCD=\frac{1}{2}\angle DPC[/tex].
Последното означава, че [tex]K[/tex] наистина лежи на построената окръжност (Защо?).
Така доказахме, че [tex]DP=PK[/tex], т.е [tex]\angle DKP=\angle KDP=\angle BAD[/tex].
Но [tex]AD\bot DK[/tex], откъдето лесно следва [tex]AB\bot PK[/tex](Продължаваме [tex]AB[/tex] до пресичането и с [tex]PK[/tex] и разглеждаме
триъгълниците [tex]ABD[/tex] и [tex]BK...[/tex]).
На чертежа има и останали излишни отсечки и ъгли.

[Доцент Колев]

чччччч.png

Да решим задачата с материал за 8-ми клас:
Построяваме окръжност с център [tex]P[/tex] и радиус [tex]PC=PD[/tex].
Ще докажем, че [tex]K[/tex] лежи на тази окръжност.
[tex]\angle AKD=\frac{1}{2}(\widehat{AD}-\widehat{BC} )=\angle ACD-\angle CAB=\angle ACD-\angle OCA=\angle OCD=\frac{1}{2}\angle DPC[/tex].
Последното означава, че [tex]K[/tex] наистина лежи на построената окръжност (Защо?).
Така доказахме, че [tex]DP=PK[/tex], т.е [tex]\angle DKP=\angle KDP=\angle BAD[/tex].
Но [tex]AD\bot DK[/tex], откъдето лесно следва [tex]AB\bot PK[/tex](Продължаваме [tex]AB[/tex] до пресичането и с [tex]PK[/tex] и разглеждаме
триъгълниците [tex]ABD[/tex] и [tex]BK...[/tex]).
На чертежа има и останали излишни отсечки и ъгли.

Кое от втората възможност, която предложих, не се учи в 8-ми клас?

[inveidar]

Кое от втората възможност, която предложих, не се учи в 8-ми клас?

Извинявай, видях теорема на Паскал и после не съм гледал, а вече я бях решил по друг начин.